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| 【注】このページは、2020 年のエイプリルフール・ネタです。 |
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| ■ｂａｃｋ |
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| 特殊相対論で、加速度運動。そして、ウラシマ効果へ。 ――「特殊相対論では、非慣性系を扱えない」の誤解に挑む！ |
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■藤野の先入観かも知れないけど、「特殊相対論＝慣性系の理論」「一般相対論＝非慣性系＋重力の理論」と、なんとなく認識している人は、少なくないんじゃないかな。 □藤野の認識だと、正しい表現は、「特殊相対論＝重力を含まない古典力学の完成形」「一般相対論＝重力も含んだ古典力学の完成形」という感じでしょうか。その帰結として、特殊相対論では、静止系と運動系の区別は無意味になったけれど、慣性系と非慣性系は厳密に区別されたままです（区別が必要というだけで、扱えないというワケではありません）。でも、一般相対論では、慣性系と非慣性系の区別すら必要なくなる――というのが、相対論についての、藤野の認識です。
□ほとんどの教科書や解説などでは、ココで、「計量」とか「4 元運動量」とか、ワケの分からない謎概念がいっぱい出てきて、とっても難しそうです。でも、特殊相対論だけのハナシなら、そんなモノを持ち出す必要なんか、まったく、ないんですよ――というコトを、ぜひ、ココで、体感してみて下さいね♪ |
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■1. 慣性系から慣性系への変換 ―― ローレンツ変換の復習 |
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■時刻と位置が座標 $(t, \ x, \ y, \ z)$ で表される慣性系を $k$ 系とします。$k$ 系に対して $+x$ 軸の向きに速さ $v$ で運動している慣性系 $(\tau, \ \xi, \ \eta, \ \zeta)$ を $\kappa$ 系としましょう。$k$ 系の任意の座標 $(t, \ x, \ y, \ z)$ が与えられたとき、その座標に対応する $\kappa$ 系の座標 $(\tau, \ \xi, \ \eta, \ \zeta)$ を求めるための公式（座標変換）は、「ローレンツ変換」という名前で、良く知られています。具体的には、光速を $c$ とすると、次の（1.1a）〜（1.1d）式のようになります。 \[ \tau = \frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^{2}}} \cdot \left( t - \frac{v}{c^{2}}x \right) + \tau_{\, \mathrm{i.c.}} \tag{1.1a} \] \[ \xi = \frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^{2}}} \cdot \Bigl( x - vt \Bigr) + \xi_{\, \mathrm{i.c.}} \tag{1.1b} \] \[ \eta = y + \eta_{\, \mathrm{i.c.}} \tag{1.1c} \] \[ \zeta = z + \zeta_{\, \mathrm{i.c.}} \tag{1.1d} \]□ココで、$\tau_{\, \mathrm{i.c. \,}}, \ \xi_{\, \mathrm{i.c. \,}}, \ \eta_{\, \mathrm{i.c. \,}}, \ \zeta_{\, \mathrm{i.c.}}$ は、初期条件（initial condition）で決まる定数です。ほとんどの教科書や解説などでは、2 つの慣性系の位置座標の原点が重なる瞬間に、お互いの時刻をゼロに合わせる――という初期条件を（説明なしに）採用しているようです。その場合は、$\tau_{\, \mathrm{i.c.}} = \xi_{\, \mathrm{i.c.}} = \eta_{\, \mathrm{i.c.}} = \zeta_{\, \mathrm{i.c.}} = 0$ となります。なお、座標原点や初期条件は、人間の都合で勝手に選べるコトなので、コレらの定数は重要ではないです。
となるコトが分かります。$t_{\, \mathrm{i.c. \,}}, \ x_{\, \mathrm{i.c. \,}}, \ y_{\, \mathrm{i.c. \,}}, \ z_{\, \mathrm{i.c.}}$ は、初期条件（initial condition）で決まる定数です。 □簡単な計算から、「$k$ 系にとって、$\kappa$ 系は $+x$ 方向に速さ $v$ で運動している慣性系である」のと同時に、「$\kappa$ 系にとって、$k$ 系は $+\xi$ 方向に速さ $-v$ で運動している慣性系である」というコトが分かります。
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■2. それぞれの慣性系から見た質点の速度 ―― 速度の合成則の導出 |
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■ココからは、簡単のために、$k$ 系の $x$ 軸に沿って（つまり、$\kappa$ 系の $\xi$ 軸に沿って）任意の運動をする質点について考えます。この質点を「質点 $\mathrm{A}$」と呼ぶコトにしましょう。 となります。一方で、$\kappa$ 系から見た質点 $\mathrm{A}$ の速さ $\omega$ は、$\omega = d\xi/d\tau$ なので、（2.1）式の $d\xi/dt$ は、合成関数の微分の法則を用いて、 \[ \frac{d\xi}{dt} = \frac{d\tau}{dt} \cdot \frac{d\xi}{d\tau} = \frac{d\tau}{dt} \cdot \omega \tag{2.2} \]のように表せます。$d\tau/dt$ は、（1.1a）式と $u = dx/dt$ を用いて、ただちに、 \[ \frac{d\tau}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^{2}}} \left( t-\frac{v}{c^{2}}x \right) + \tau_{\, \mathrm{i.c.}} \right) = \frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^{2}}} \left( 1 - \frac{v \cdot u}{c^{2}} \right) \tag{2.3} \]となるので、（2.2）式と（2.3）式を、（2.1）式に代入して整理すると、 \[ u = \frac{v + \omega}{1 + (v \cdot \omega/c^{2})} \tag{2.4} \]が導けます。この（2.4）式によって、$k$ 系から見た質点 $\mathrm{A}$ の速さ $u$ と、$\kappa$ 系から見た質点 $\mathrm{A}$ の速さ $\omega$ の関係が分かります。コレを、$k$ 系の観測者の立場から見ると、「$\kappa$ 系（の観測者）の速さ $v$」と「$\kappa$ 系の観測者から見た質点 $\mathrm{A}$ の速さ $\omega$」の足し合わせ（合成）で、「（$k$ 系の観測者から見た）質点 $\mathrm{A}$ の速さ $u$」を表したモノであると、みなすコトもできます。その意味で、（2.4）式は、「速度の合成則」と呼ばれます。 □ちなみに、（2.4）式から、「速さ $v$ で運動している物体（系）から速さ $\omega$ で飛び出しても、（$k$ 系から見た）速さは、$v+\omega$ にはならない」とか、「光速 $c$ より小さいどんな速さを足し合わせても、光速 $c$ より大きい速さにはならない（つまり、$u < c$ が成り立つ）」とかいった、興味深いコトが分かると思います。 |
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■3. それぞれの慣性系から見た質点の加速度 ―― 加速度の変換式の導出 |
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■$k$ 系から見た質点 $\mathrm{A}$ の速さ $u$ を求めたので、さらに、コレを $k$ 系の時刻 $t$ で微分するコトにより、$k$ 系から見た質点 $\mathrm{A}$ の加速度 $du/dt$（$= d^{2}x/dt^{2}$）を計算しましょう。（2.4）式を $t$ で微分して整理すると、ただちに（ココでも、考える微小時間 $dt$ のあいだ、$k$ 系から見た $\kappa$ 系の相対速度 $v$ は一定とみなせるので）、 \[ \frac{du}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{v + \omega}{1 + (v \cdot \omega/c^{2})} \right) = \left( 1 + \frac{v \cdot \omega}{c^{2}} \right)^{-2} \cdot \left\{ 1 - \left( \frac{v}{c} \right)^{2} \right\} \cdot \frac{d\omega}{dt} \tag{3.1} \]となります。一方で、$\kappa$ 系から見た質点 $\mathrm{A}$ の加速度は $d\omega/d\tau$（$= d^{2}\xi/d\tau^{2}$）ですので、（3.1）式の $d\omega/dt$ は、合成関数の微分の法則と（2.3）式を用いて、 \[ \frac{d\omega}{dt} = \frac{d\tau}{dt} \cdot \frac{d\omega}{d\tau} = \frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^{2}}} \left( 1 - \frac{v \cdot u}{c^{2}} \right) \cdot \frac{d\omega}{d\tau} \tag{3.2} \]のように表せます。したがって、この（3.2）式を、（3.1）式に代入すると、 \[ \frac{du}{dt} = \left\{ 1 - \left( \frac{v}{c} \right)^{2} \right\}^{1/2} \cdot \left( 1 + \frac{v \cdot \omega}{c^{2}} \right)^{-2} \cdot \left( 1 - \frac{v \cdot u}{c^{2}} \right) \cdot \frac{d\omega}{d\tau} \tag{3.3} \]となりますけど、右辺に 1 つだけ残っている $u$ に、（2.4）式を代入して整理すると、結局、 \[ \frac{du}{dt} = \left\{ 1 - \left( \frac{v}{c} \right)^{2} \right\}^{3/2} \cdot \left( 1 + \frac{v \cdot \omega}{c^{2}} \right)^{-3} \cdot \frac{d\omega}{d\tau} \tag{3.4} \]が導けます。この（3.4）式が、求めたかった、$k$ 系から見た質点 $\mathrm{A}$ の加速度 $du/dt$ と、$\kappa$ 系から見た質点 $\mathrm{A}$ の加速度 $d\omega/d\tau$ のあいだの関係式です。 |
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■4. 加速度を感じている質点の運動 ―― 解くべき微分方程式の導出 |
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■いま、$k$ 系の任意の時刻 $t$ において、時刻 $t$ 〜 $t+dt$ のあいだは、質点 $\mathrm{A}$ が、$\kappa$ 系の任意の位置座標に静止しているとみなせるとしましょう。このとき、$\kappa$ 系から見た質点 $\mathrm{A}$ の速さ $\omega$ は、$\omega = 0$ となります。 □ただし、このあと、質点 $\mathrm{A}$ が加速度運動をしていく、つまり、考える $\kappa$ 系（質点 $\mathrm{A}$ のいる慣性系）が次々と変わっていくコトを前提に計算をします。この前提では、もはや、$u$ は一定ではなく、時間とともに変化していく（つまり、時刻 $t$ の関数 $u = u(t)$ となる）コトに注意しておきましょう。
となるコトが分かります。（4.1）式の微分方程式を解けば、任意の加速度 $\alpha = \alpha(\tau)$ を感じている質点 $\mathrm{A}$ を、$k$ 系（慣性系）から見たときの、質点 $\mathrm{A}$ の運動の様子（つまり、質点 $\mathrm{A}$ の速さ $u$ と位置 $x$）が計算できます。 □ちなみに、ココまでは 1 次元の加速度運動だけを考えてきましたけど（つまり、質点 $\mathrm{A}$ の速度 $\boldsymbol{u}$ は、つねに $x$ 軸に沿った向きであると、暗黙のうちに前提していましたけど）、3 次元の加速度運動を考える場合は、どうなるでしょうか。 □（1.2a）〜（1.2d）式で表されるローレンツ変換は、$k$ 系から見た $\kappa$ 系の相対速度を $\boldsymbol{v} = (v_{x}, \ v_{y}, \ v_{z})$、$k$ 系の時刻と位置を $(t, \ \boldsymbol{r}_{k})$、$\kappa$ 系の時刻と位置を $(\tau, \ \boldsymbol{r}_{\kappa})$ とすると、$v = \lvert\boldsymbol{v}\rvert = \sqrt{v_{x}{}^{2}+v_{y}{}^{2}+v_{z}{}^{2}}$ も使って、 となります。かなり複雑な式になってしまいましたね。
□1 次元の場合と同じ要領で、（4.1）式に相当するような、3 次元の場合の微分方程式を得るためには、さらに、この（4.2a）式と（4.2b）式を、$k$ 系の時刻 $t$ で 2 階微分して、2 つの慣性系から見た加速度のあいだの関係式を求めなければなりません。それだけでも、とてつもなく面倒くさいコトになりそうです。さらに、苦労して求めた微分方程式が、ちゃんと（できれば簡単に）解けるのかどうかの保証もありません（ちなみに、もちろん、しっかりと解けます。それどころか、運動方程式について考えるときには、3 次元の加速度運動を前提にしないと、相対論的に正しい運動方程式を導くコトは、困難です）。 □そうなると、「やっぱり、テンソル解析の勉強をしてから、出直さないといけないのかな」、「まずは、ミンコフスキー空間を勉強して、マスターしないと、ダメなのかも」などと思ってしまうのは、当然のコトかも知れません。そのコトが、「特殊相対論では、加速度運動は計算できない」とか、「特殊相対論では、非慣性系を扱えない」とかいった誤解につながっているのかも知れません。 □でも、（4.1）式を見てもらえば分かるように、1 次元の運動を考える限りは、加速度運動する質点 $\mathrm{A}$ の運動の様子（つまり、質点 $\mathrm{A}$ の速さ $u$ と位置 $x$）を計算するのは、さほど難しくはありません。そして、1 次元の加速度運動だけを考えれば十分な例は、けっこう多いです。たとえば、ウラシマ効果を考える場合は、地球と別の星との往復――つまり 1 次元の加速度運動についてだけ考えれば良いので、テンソル解析なんかは、まったく知らなくても、高校で習う微積分だけで、十分に、いろいろな計算ができるのです。
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■5. 等加速度直線運動する質点（その 1）―― 慣性系から見た速さの計算 |
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■（4.1）式を解く前に、まず、（4.1）式の形から分かるコトを確認しておきましょう。すぐに気づくのは、質点 $\mathrm{A}$ 自身が加速度 $\alpha$ は一定だと感じていても、$k$ 系（特に制約はなく、どんな慣性系で考えても良いので、以下では、「（任意の）慣性系」と呼びます）から見れば、それ（$du/dt$）は、もはや一定ではない――というコトです。もう 1 つの興味深い事実は、（4.1）式の右辺のカッコ部分は $3/2$ 乗されるので、カッコの内部は必ず $0$ 以上でなければいけないというコトです。すなわち、$\lvert u\rvert \leq c$ が分かります。式の形だけでも、コレだけ興味深いコトが分かるのですから、ますます、ちゃんと解いてみたくなりますよね。 となります（いま、$\alpha$ は一定と考えているコトに注意）。$X = \{1-(u/c)^{2}\}^{-1/2}$ とおくと、ただちに、 \[ \int \frac{X}{\sqrt{X^{2} - 1}} \cdot dX = \frac{\alpha}{c} \cdot \int dt \tag{5.2} \]さらに、$Y = (X^{2}-1)^{1/2}$ とおくと、ただちに、 \[ \int dY = \frac{\alpha}{c} \cdot \int dt \tag{5.3} \]（5.3）式を解くと、 \[ Y = \frac{\alpha}{c} \cdot t + C_{1} \quad \mbox{（$C_{1}$ は積分定数）} \tag{5.4} \]ですので、置換積分に用いた $Y$ と $X$ を元に戻して、整理すると、ただちに、 \[ u = \frac{\alpha t + cC_{1}}{\sqrt{1 + \frac{1}{c^{2}}(\alpha t + cC_{1})^{2}}} \quad \mbox{（$C_{1}$ は積分定数）} \tag{5.5} \]となり、（任意の）慣性系から見た質点 $\mathrm{A}$ の速さ $u = u(t)$ が求められました。 となるので、ガリレイの相対論における運動の法則（$u = \alpha t+u_{0}$）との類推から、$cC_{1}$ は初速度 $u_{0}$ に関係する量であると考えられます（もちろん、（任意の）慣性系の時刻 $t = 0$ における、この慣性系から見た質点 $\mathrm{A}$ の速さ $u_{0}$ そのものとは異なるでしょうけれども）。そこで、さしあたって、新たな積分定数として、$u_{0}' \equiv cC_{1}$ とおいてみましょう。このとき、（5.5）式は、 \[ u = \frac{\alpha t + u_{0}'}{\sqrt{1 + \frac{1}{c^{2}}(\alpha t + u_{0}')^{2}}} \quad \mbox{（$u_{0}'$ は積分定数）} \tag{5.7} \]と表せます。 となるコトが分かります。 □（5.7）式と（5.8）式より、$\lvert\alpha t+u_{0}'\rvert \ll c$（つまり、$\lvert u\rvert \ll c$）、および、$\lvert u_{0}\rvert \ll c$ のとき、$u \simeq \alpha t+u_{0}$ となるコトが分かります。つまり、質点 $\mathrm{A}$ の速さ $u$ が光速 $c$ よりも十分に小さいとき、（任意の）慣性系から見た質点 $\mathrm{A}$ の速さ $u(t)$ は、ガリレイの相対論で近似できるコトが分かります。 □一方で、（5.7）式において、時刻 $t \rightarrow \infty$ の極限では、$u \rightarrow \pm c$ となるコトも分かります（ココでの $c$ の符号は、$\alpha$ の符号と同じになります）。すなわち、（任意の）慣性系から見た質点 $\mathrm{A}$ の速さ $u$ は、有限の時間内には、光速 $c$ に達しない――というコトになります。質点 $\mathrm{A}$ 自身は、つねに一定の大きさの加速度を感じて、加速し続けているのに、なんとも不思議なコトですね。
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■6. 等加速度直線運動する質点（その 2）―― 慣性系から見た位置の計算 |
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■次に、（任意の）慣性系から見た質点 $\mathrm{A}$ の位置 $x = x(t)$ を求めてみましょう。（5.7）式で求めた質点 $\mathrm{A}$ の速さ $u$ は、$u = dx/dt$ でもありますから、（5.7）式を整理して、両辺を積分すれば、 \[ \int dx = \int \frac{\alpha t + u_{0}'}{\sqrt{1 + \frac{1}{c^{2}}(\alpha t + u_{0}')^{2}}} \cdot dt \tag{6.1} \]となります。ココで、$X = \{1+\frac{1}{c^{2}}(\alpha t+u_{0}')^{2}\}^{1/2}$ とおいて置換積分をすると、結局、 \[ x = \frac{c^{2}}{\alpha} \sqrt{1 + \frac{1}{c^{2}}(\alpha t + u_{0}')^{2}} + C_{2} \quad \mbox{（$C_{2}$ は積分定数）} \tag{6.2} \]が得られます。 となるコトが分かります。したがって、（6.2）式を書き直すと、ただちに、 \[ x = \frac{c^{2}}{\alpha} \left\{ \sqrt{1 + \frac{1}{c^{2}}(\alpha t + u_{0}')^{2}} - \sqrt{1 + \left( \frac{u_{0}'}{c} \right)^{2}} \right\} + x_{0} \tag{6.4} \]と表せます。コレが、（任意の）慣性系から見た質点 $\mathrm{A}$ の位置 $x = x(t)$ です。 □（6.4）式からは、$\lvert\alpha t+u_{0}'\rvert \ll c$（つまり、$\lvert u\rvert \ll c$）、および、$\lvert u_{0}'\rvert \ll c$ のとき（このとき、$u_{0}' \simeq u_0$ となるコトに注意して）、$x \simeq (1/2) \, \alpha t^{2}+u_{0} \, t+x_{0}$ となるコトが分かります。したがって、質点 $\mathrm{A}$ の速さ $u$ が光速 $c$ よりも十分に小さいとき、（任意の）慣性系から見た質点 $\mathrm{A}$ の位置 $x(t)$ は、ガリレイの相対論で近似できるコトが分かります。
□ちなみに、ココで新たに導入された定数 $t_{0}$ を、（5.7）式に代入すると、この $t_{0}$ は、（任意の）慣性系から見た質点 $\mathrm{A}$ の速さ $u$ が、$u = 0$ となる時刻を表しているコトが分かります。つまり、$u(t_{0}) = 0$ です。
となります。実は、この関数の形は、幾何学の分野では良く知られています。一般に、$a$ と $b$ を定数として、 \[ \frac{X^{2}}{a^{2}} - \frac{Y^{2}}{b^{2}} = 1 \tag{6.7} \]で表される関数は、$X \,$-$\, Y$ 平面上で、$(X, \ Y) = (\pm a, \ 0)$ の点を通り、直線 $X = \pm(a/b) \, Y$ を漸近線とする双曲線となります。（6.6）式と（6.7）式を見比べるコトで、（6.6）式のグラフは――つまり、（任意の）慣性系の時刻 $t$ と、この慣性系から見た質点 $\mathrm{A}$ の位置 $x$ の関係は、次の図のようになるコトが分かります。 □ちなみに、漸近線の傾きが $c$、つまり光速 $c$ と等しいコトは（良く考えたら、第 5 節で明らかになったように、時刻 $t \rightarrow \infty$ の極限で、$u \rightarrow \pm c$ となるコトから、当然と言えば当然ですけど）、注目に値すると思います。たとえば、漸近線よりも下側の領域（グレーの部分）の点からは、いかなる光も情報も、一定の加速度 $\alpha$ を感じている質点 $\mathrm{A}$ には届かないコトが分かります。つまり、この図のグレーの領域は、質点 $\mathrm{A}$ にとっては、存在を確認するコトができない領域であり、そこでナニが起きても、まったく影響を受けない領域――あとで分かるように、無限に遠い場所よりも、向こう側の場所――、要するに、存在しないも同然の領域であるコトが分かります。 |
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■7. 等加速度直線運動する質点の時間 ―― 2 つの時刻の関係 |
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■さて、ココまでは、（任意の）慣性系から見た質点 $\mathrm{A}$ の運動の様子について考えてきましたけれど、一定の加速度 $\alpha$ を感じている質点 $\mathrm{A}$ 自身には、世界がどのように見えているのでしょうか。まず、「質点 $\mathrm{A}$（が持つ時計）の時刻 $\tau$」を、「（任意の）慣性系の時刻 $t$」と比べてみましょう。 で表されます。ところが、いま、質点 $\mathrm{A}$ は $\kappa$ 系に対して静止しているとみなしているので、$d\xi/d\tau = 0$ です。さらに、$u$ は（5.7）式で求めていますので、それらを代入して整理すると、解くべき微分方程式は、 \[ \frac{dt}{d\tau} = \sqrt{1 + \frac{1}{c^{2}}(\alpha t + u_{0}')^{2}} \tag{7.2} \]となるコトが分かります。早速、この微分方程式を解いてみましょう。まず、（7.2）式より、ただちに、 \[ \int d\tau = \int \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{c^{2}}(\alpha t + u_{0}')^{2}}} \cdot dt \tag{7.3} \]ですから、$X = (\alpha t+u_{0}')/c$ とおいて置換積分をすると、結局（双曲線関数、および、その逆関数を用いて）、 \[ \frac{\alpha}{c} \tau + C_{3} = \sinh^{-1}{\left( \frac{1}{c} (\alpha t + u_{0}') \right)} \quad \mbox{（$C_{3}$ は積分定数）} \] \[ \quad \mbox{したがって} \quad t = \frac{c}{\alpha} \sinh{\left( \frac{\alpha}{c} \tau + C_{3} \right)} - \frac{u_{0}'}{\alpha} \quad \mbox{（$C_{3}$ は積分定数）} \tag{7.4} \]が得られます（双曲線関数については、詳しくは、皆さんで調べてみて下さいね）。 と表すコトができます。 □（7.5）式に、$t = t_{0}$ を代入すると、$\tau = \tau_{0}$ となるコトが分かります。つまり、ココで導入した初期条件だけで決まる定数 $\tau_{0}$ は、（任意の）慣性系の時刻 $t$ が $t = t_{0}$ となるときの、質点 $\mathrm{A}$（が持つ時計）の時刻を表している――というコトが分かります。一方、繰り返しになりますけど、$t_{0} = -u_{0}'/\alpha$ は、（任意の）慣性系から見た質点 $\mathrm{A}$ の速さ $u$ が $u = 0$ となるような時刻、つまり、$u(t_{0}) = 0$ が成り立つような時刻 $t_{0}$ を表していました。ココで、相対性の原理より、（任意の）慣性系から見た質点 $\mathrm{A}$ の速さが $u$ のときに、質点 $\mathrm{A}$ から見たこの慣性系の速さは $-u$ となるコトを、思い出しましょう。（任意の）慣性系の時刻 $t$ が $t = t_{0}$ のとき、この慣性系から見た質点 $\mathrm{A}$ の速さ $u(t_{0})$ は $u(t_{0}) = 0$ でしたので、質点 $\mathrm{A}$（が持つ時計）の時刻 $\tau$ が $\tau = \tau_{0}$ のとき、質点 $\mathrm{A}$ から見たこの慣性系の速さも $0$ となるコトが分かります。
となりますけど、$\cosh{X}$ は、どんな $X$ に対しても必ず $1$ 以上（つまり、$\cosh{X} \geq 1$）ですので、 \[ \lvert dt \rvert \geq \lvert d\tau \rvert \tag{7.7} \]が必ず成り立つコトになるのです。つまり、（任意の）慣性系の時計で $1$ 秒が経過したとき（$dt = 1$ [秒]）、一定の加速度 $\alpha$ を感じている質点 $\mathrm{A}$ が持つ時計では $1$ 秒未満しか経過していない（$d\tau \leq 1$ [秒]）――というコトになります。言い換えるならば、一定の加速度 $\alpha$ を感じている質点 $\mathrm{A}$ が持つ時計は、（任意の）慣性系の時計よりも、必ず、時間の進み方が遅くなる――というコトです。 □なお、現実問題としては、たとえば、（任意の）慣性系の時刻 $t$ が $t = 0$ のとき、質点 $\mathrm{A}$（が持つ時計）の時刻 $\tau$ も $\tau = 0$ に合わせる――というように、お互いの時刻を、適切な基準で、合わせておかないと、計算が大変です。時刻を合わせる基準は、解きたい問題の具体的な内容によって、いろいろと考えられると思いますけれど、イチバン分かりやすい設定は、$t = 0$ のときに $\tau = 0$ となるよう、お互いの時刻の基準を合わせるコトでしょう。このとき、（7.5）式に出てくる 2 つの定数、$t_{0}$ と $\tau_{0}$ の関係は、 で表されるコトになります。
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または、 
■8. 等加速度直線運動する質点から見た世界 ―― ウラシマ効果の計算 |
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■さて、ココまでの議論で、（7.5）式によって、（任意の）慣性系の時刻 $t$ を、一定の加速度 $\alpha$ を感じている質点 $\mathrm{A}$（が持つ時計）の時刻 $\tau$ を用いて表すコトができました。そこで、（任意の）慣性系から見た質点 $\mathrm{A}$ の速さ $u$ と時刻 $t$ の関係を表す（5.7）式と、位置 $x$ と時刻 $t$ の関係を表す（6.4）式に、それぞれ、（7.5）式を代入してみます。コレで、（任意の）慣性系から見た質点 $\mathrm{A}$ の速さ $u$ や位置 $x$ が、質点 $\mathrm{A}$（が持つ時計）の時刻 $\tau$ を用いて表せるコトになります。 が導かれます。コレによって、質点 $\mathrm{A}$（が持つ時計）の時刻が $\tau$ のときに、（任意の）慣性系から見た質点 $\mathrm{A}$ の速さ $u(\tau)$ と位置 $x(\tau)$ が、どのようになっているのか、分かりました。 □ココまでに導いた式から、たとえば、（任意の）慣性系から見て距離 $\varDelta x$ だけ離れた 2 点のあいだを、質点 $\mathrm{A}$ が通過するのに要する時間を調べるときに、（任意の）慣性系の時刻 $t$ で測った場合＝（6.4）式と、質点 $\mathrm{A}$（が持つ時計）の時刻 $\tau$ で測った場合＝（8.2a）式で、どれだけ差が生じるのか――いわゆる「ウラシマ効果」によって、どのくらい、時間の遅れが生じるのか――といったコトが、計算できます。 □ちなみに、（任意の）慣性系の時刻 $t$ と、質点 $\mathrm{A}$（が持つ時計）の時刻 $\tau$ を、$t = 0$ のときに、$\tau = 0$ となるように、お互いの時刻の基準を合わせる場合には、（8.2a）式を、比較的、キレイな形で表すコトができます。（7.8b）式と、双曲線関数の公式 $\sinh^{-1}{X} = \cosh^{-1}{\left(\sqrt{X^{2}+1}\right)}$、および、$\cosh{(-X)} = \cosh{X}$ を用いると、 のように表せる――というワケです。
□ところで、公式を用いて、実際の数値を求めるときに、注意しなければならないコトがあります。最初の公式を使って出した数値を、適当に四捨五入して、次の公式に代入して、……といったふうに、公式に代入するたびに、端数処理した数値を用いると、双曲線関数などの影響で、計算結果に、想像以上の大きな誤差が生じてしまう場合があります。できるだけ、計算途中で四捨五入などをする必要のない準備をしてから、与えられた数値を代入するようにしましょう。 |
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■9. 「等加速度系」の定義（その 1）―― 等加速度系の空間と時間 |
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■さて、ココまでの議論で、「一定の加速度 $\alpha$ を感じている質点 $\mathrm{A}$」については、十分な検討ができました。一般相対論を使わなくたって、特殊相対論だけで、非慣性運動（特に、等加速度運動）を扱えるというコトは、十分に確かめられました。そして、「非慣性系（特に、等加速度系）」について考える準備が、整いました。 となるので、結局、光信号 $\mathrm{L}_{1}$ の軌跡の方程式は、 \[ x = ct + \frac{c^{2}}{\alpha} \left( e^{-\frac{\alpha}{c} (\tau - \varDelta\tau)} - 1 \right) \tag{9.2} \]と表せます。同様にして、光信号 $\mathrm{L}_{2}$ の軌跡の方程式は、双曲線関数の公式 $\cosh{X}+\sinh{X} = e^{X}$ を用いて、 \[ x = -ct + \frac{c^{2}}{\alpha} \left( e^{\frac{\alpha}{c} (\tau + \varDelta\tau)} - 1 \right) \tag{9.3} \]と表せるコトが分かります。 となるコトが分かります（ココで、双曲線関数の定義式 $e^{X}-e^{-X} = 2\sinh{X}$、および、$e^{X}+e^{-X} = 2\cosh{X}$ を使いました）。 □ちなみに、（9.4b）式と（9.5b）式から、$\xi$ を消去すると、ただちに、 が導かれます。（9.6）式は、$\tau$ を定数とみなした場合、$t \,$-$\, x$ 座標における直線を表す式になっています。一方で、最初の思考実験に戻って考えてみると、（9.6）式は、あらゆる $\xi$（質点 $\mathrm{A}$ と質点 $\mathrm{B}$ のあいだの距離）について、$t \,$-$\, x$ 座標上の点 $\mathrm{B}_{\tau}$ が満たすべき条件である――と言うコトもできます。最初の思考実験において、点 $\mathrm{B}_{\tau}$ は、質点 $\mathrm{B}$ が質点 $\mathrm{A}$ からの光信号を受信・返信した事象を表す点でした。したがって、この事象（点 $\mathrm{B}_{\tau}$）は、$\xi$ がどのような値であったとしても、質点 $\mathrm{A}$ から見て、時刻 $\tau$ に起きた事象です。コレらのハナシをまとめると、この（9.6）式は、質点 $\mathrm{A}$ から見て、質点 $\mathrm{A}$ が持つ時計で時刻 $\tau$ のときに起きた事象のすべてを、慣性系（$k_{0}$ 系）の $t \,$-$\, x$ 座標上に示したモノであるコトが分かります。たとえば、最初の思考実験の【2】に明記されているように、図中の点 $\mathrm{A}_{\tau}$ と点 $\mathrm{B}_{\tau}$ は、どちらも、質点 $\mathrm{A}$ が持つ時計で時刻 $\tau$ に起きた事象を表していますが、どちらの点も、ちゃんと、（9.6）式を満たしています。 □このように、この（9.6）式で表された直線上の点はすべて、質点 $\mathrm{A}$ から見て、時刻 $\tau$ に起きた事象を示しています。その意味で、（9.6）式で表される直線を、「時刻 $\tau$ の同時刻線」と呼ぶコトがあります。なお、時刻 $t$ の同時刻線は、（当たり前のコトですけど）$t$ 軸に垂直で、$x$ 軸に平行な直線になります。 □余談ですけど、時刻 $\tau$ の同時刻線の、$t \,$-$\, x$ 座標上での傾きは、時間が経過するにしたがい、だんだんと小さくなり、時刻 $\tau \rightarrow \infty$ の極限で、傾きは、光速 $c$ になります。また、時刻 $\tau$ の同時刻線は、時刻 $\tau$ の値にかかわらず、必ず、$t \,$-$\, x$ 座標上の点 $(0, \ -c^{2}/\alpha)$ を通ります。第 6 節で説明したように、この点は、慣性系（$k_{0}$ 系）から見た質点 $\mathrm{A}$ の軌跡（双曲線）に対する、2 つの漸近線の交点です。コレらが、ナニを意味しているのかは、とても不思議で、興味深いと思いますけど、いまは、先に進むコトにします。 |
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■10. 「等加速度系」の定義（その 2）―― 等加速度系内に生じる矛盾 |
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■さて、前節で求めた（9.4b）式と（9.5b）式を用いて、質点 $\mathrm{B}$ を慣性系（$k_{0}$ 系）から見たときの軌跡を、計算してみましょう。（9.4b）式と（9.5b）式から $\tau$ を消去して（双曲線関数の公式 $\cosh^{2}{X}-\sinh^{2}{X} = 1$ を使うと、簡単です）、整理すると、ただちに、 \[ \left( x + \frac{c^{2}}{\alpha} \right)^{2} - c^{2}t^{2} = \left( \frac{c^{2}}{\alpha} \cdot e^{(\alpha/c^{2}) \, \xi} \right)^{2} \] \[ \quad \mbox{したがって} \quad \left( x + \frac{c^{2}}{\alpha} \right)^{2} - c^{2}t^{2} = \left( \frac{c^{2}}{\alpha \cdot e^{-(\alpha/c^{2}) \, \xi}} \right)^{2} \tag{10.1} \]が得られます。少し、技巧的になりますけど、ココで、新たに、次の記号を、導入してみましょう。 \[ \alpha_{\mathrm{B}} = \alpha \cdot e^{-(\alpha/c^{2}) \, \xi} \tag{10.2a} \] \[ x_{\mathrm{B}0} = -\frac{c^{2}}{\alpha} + \frac{c^{2}}{\alpha_{\mathrm{B}}} \quad = \frac{c^{2}}{\alpha} \left( e^{(\alpha/c^{2}) \, \xi} - 1 \right) \tag{10.2b} \]すると、（10.1）式は、次のように、書き直すコトができます。 \[ \left\{ x - \left( x_{\mathrm{B}0} - \frac{c^{2}}{\alpha_{\mathrm{B}}} \right) \right\}^{2} - c^{2}t^{2} = \left( \frac{c^{2}}{\alpha_{\mathrm{B}}} \right)^{2} \tag{10.3} \]
と書けるコトが分かります。 □「等加速度系」の矛盾について考えてみる前に、質点 $\mathrm{B}$ 自身が感じている加速度 $\alpha_{\mathrm{B}}$ について、詳しく見てみましょう。質点 $\mathrm{B}$ 自身が感じている加速度 $\alpha_{\mathrm{B}}$ は、（10.2a）式で与えられています。（10.2a）式の形からは、質点 $\mathrm{B}$ が質点 $\mathrm{A}$ の前方にあるとき（$\xi > 0$）、質点 $\mathrm{B}$ の感じている加速度 $\alpha_{\mathrm{B}}$ は、質点 $\mathrm{A}$ の感じている加速度 $\alpha$ よりも小さくなり（$\alpha_{\mathrm{B}} < \alpha$）、質点 $\mathrm{B}$ が質点 $\mathrm{A}$ の後方にあるとき（$\xi < 0$）、質点 $\mathrm{B}$ の感じている加速度 $\alpha_{\mathrm{B}}$ は、質点 $\mathrm{A}$ の感じている加速度 $\alpha$ よりも大きくなる（$\alpha_{\mathrm{B}} > \alpha$）――というコトが分かります。特に、質点 $\mathrm{B}$ が、質点 $\mathrm{A}$ から見て前方の無限遠点（$\xi = +\infty$）にあるとき、$\alpha_{\mathrm{B}} = 0$ となり、質点 $\mathrm{A}$ から見て後方の無限遠点（$\xi = -\infty$）にあるとき、$\alpha_{\mathrm{B}} = +\infty$ となります。 □注目すべきは、加速度だけではありません。（9.4b）式と（9.5b）式から、質点 $\mathrm{A}$ が持つ時計の時刻 $\tau$ の値にかかわらず、$\xi = -\infty$ の場所で、$t = 0$、$x = -c^{2}/\alpha$ となるコトが分かります。コレは、質点 $\mathrm{A}$ から見て後方の無限に遠くにある点が、この慣性系（$k_{0}$ 系）にとっては $x = -c^{2}/\alpha$ の点であり、かつ、時間は時刻 $t = 0$ で止まっている――というコトです。第 6 節や第 9 節の最後に補った内容と併せて、コレらの結果が意味するコトは、とても興味深いですけど、いまは、先に進むコトにします。 |
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■11. 「等加速度系」の定義（その 3）―― 矛盾の解消 |
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■前節で、「質点 $\mathrm{A}$ のいる等加速度系」を定義したら、「質点 $\mathrm{A}$ と 質点 $\mathrm{B}$ は、お互いに静止しているのに、それぞれの感じている加速度が、お互いに異なっている」という問題に直面したのでした。一見、矛盾のように感じるかも知れません。実は、加速度を測る基準となる時間を、質点 $\mathrm{A}$ が持つ時計の時刻 $\tau$ だけで測っているコトに、この矛盾の原因があります。つまり、質点 $\mathrm{B}$ が持つ時計の時刻 $\tau_{\mathrm{B}}$ のコトも、併せて考えると、この矛盾は、なくなってしまうのです。以下では、質点 $\mathrm{B}$ が持つ時計の時刻 $\tau_{\mathrm{B}}$ について、調べてみましょう。 となるコトが分かります。簡単のため、慣性系（$k_{0}$ 系）の時刻 $t$ が $t = 0$ のとき、質点 $\mathrm{B}$ が持つ時計の時刻 $\tau_{\mathrm{B}}$ を $\tau_{\mathrm{B}} = 0$ に合わせるコトにしましょう。このとき、（11.1a）式より、$\tau_{\mathrm{B}0} = 0$ となるので、（11.1a）式は、 \[ t = \frac{c}{\alpha_{\mathrm{B}}} \sinh{\left( \frac{\alpha_{\mathrm{B}}}{c} \tau_{\mathrm{B}} \right)} = \frac{c}{\alpha \cdot e^{-(\alpha/c^{2}) \, \xi}} \sinh{\left( \frac{\alpha \cdot e^{-(\alpha/c^{2}) \, \xi}}{c} \tau_{\mathrm{B}} \right)} \tag{11.1b} \]と書き直すコトができます（ココで、（10.2a）式を用いました）。 という関係式が成り立つコトが分かります。（11.2）式によって、質点 $\mathrm{A}$ が持つ時計の時刻 $\tau$ と、質点 $\mathrm{B}$ が持つ時計の時刻 $\tau_{\mathrm{B}}$ の関係を、知るコトができました。 が得られます。（11.3）式によって、質点 $\mathrm{B}$ が質点 $\mathrm{A}$ の前方にあるときには（$\xi > 0$）、質点 $\mathrm{B}$ が持つ時計の時間 $d\tau_{\mathrm{B}}$ は、質点 $\mathrm{A}$ が持つ時計の時間 $d\tau$ よりも、進み方が速くなり（$d\tau_{\mathrm{B}} > d\tau$）、質点 $\mathrm{B}$ が質点 $\mathrm{A}$ の後方にあるときには（$\xi < 0$）、質点 $\mathrm{B}$ が持つ時計の時間 $d\tau_{\mathrm{B}}$ は、質点 $\mathrm{A}$ が持つ時計の時間 $d\tau$ よりも、進み方が遅くなる（$d\tau_{\mathrm{B}} < d\tau$）――というコトが分かります。 □ちなみに、質点 $\mathrm{A}$ から見ると、質点 $\mathrm{A}$ と質点 $\mathrm{B}$ は、常に同じ「速さ」で、同じ距離にありますけど、慣性系（$k_{0}$ 系）からは、どう見えるのでしょうか。慣性系（$k_{0}$ 系）から見た質点 $\mathrm{A}$ の位置を $x$、質点 $\mathrm{B}$ の位置を $x_{\mathrm{B}}$ と書くと、簡単な計算で（$\xi$ の符号にかかわらず）、 が得られます。つまり、慣性系（$k_{0}$ 系）から見ると、質点 $\mathrm{A}$ と質点 $\mathrm{B}$ のあいだの距離は、2 つの質点の速さがともに $0$ となる時刻（$t = 0$）までは、時間の経過とともに、しだいに広がっていき、時刻 $t = 0$ で最大（$\lvert x_{\mathrm{B}}-x\rvert = \lvert x_{\mathrm{B}0} \, \rvert$）となったあとは、時間の経過とともに、しだいに狭くなっていきます。
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■12. 「等加速度系」の世界 ―― 一定の加速度を感じている質点から見た慣性系 |
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■さて、「等加速度系」については、さまざまな考え方から、さまざまな定義が考えられると思いますけれど、ココでは、これまでの議論から、次のように、「等加速度系」を、定義してみましょう。 □すでに述べているとおり、質点 $\mathrm{B}$ 自身が感じている加速度 $\alpha_{\mathrm{B}}$ は、質点 $\mathrm{A}$ の感じている加速度 $\alpha$ とは異なります。したがって、ココで定義した「等加速度系」を、「加速度 $\alpha$ の等加速度系」と呼ぶコトは、許されないでしょう。「等加速度系」と呼ぶコトさえ、ためらわれるかも知れません。とは言え、ほかに、合理的な「等加速度系」の定義を考えるのは、難しいと思われます。そんなワケで、ココでは、「（一定の加速度 $\alpha$ を感じている）質点 $\mathrm{A}$ のいる等加速度系（$\kappa_{\mathrm{A}}$ 系）」と、カギカッコ付きで書くコトにします。
□ところで、特に、SF 作品を楽しむ人が、絶対に忘れてはならないのは、観測者が慣性系にいるにせよ、「等加速度系」にいるにせよ、「座標 $x$ ないし座標 $\xi$ の位置に『ある』」とは、「座標 $x$ ないし座標 $\xi$ の位置に『見える』」とは違う――というコトです。「見える」というコトを考えるには、「対象が座標上のどの位置にあるのか」という問題だけでなく、「対象から出た光が、観測者の網膜に到達するまでの経路がどうなっているのか」という問題が、とても重要になってきます。鏡のコトを考えれば、分かりやすいかも知れません。さらに、対象が光速に近い速さで動いていると、光速が有限であるというコトが、大きな問題となってきます。たとえば、とっても長い棒を考えてみましょう。いま、棒の先端から来た光と、棒の後端から来た光が、観測者の目に「同時に」到達したとします。この場合、棒の先端から観測者までの距離と、棒の後端から観測者までの距離が同じでないとすると、観測者の目に「同時に」到達したそれぞれの光は、実際には、「異なる時刻に」対象から出たハズです。それでは、棒の先端を光が出発した時刻 $\tau_{先端}$ から、棒の後端を光が出発する時刻 $\tau_{後端}$ のあいだに、棒の位置や姿勢が変わっていたならば、観測者が見る棒の像は、どうなるのでしょうか。観測者にとっては、時刻 $\tau_{先端}$ のときの位置に棒の先端があるように見え、時刻 $\tau_{後端}$ のときの位置に棒の後端があるように見えるハズです。したがって、たとえ、本来は真っ直ぐな棒だとしても、棒の位置や姿勢の変化によっては、観測者には、かなり歪んだ棒のように見えるでしょう。――その他にも、ある観測者が、ある対象を見たときの像が、どうなるかを考えるときには、光行差現象やドップラー効果などの要素が、とても重要になってきます。実際に観測者が見る像は、これらのさまざまな効果が、すべて合わさったモノになるので、かなり、ややこしいコトになるハズです。
□第 9 節の思考実験を思い出すと、この定義は、慣性系における「時間」の定義（離れた 2 点間における「同時性」の定義）を、「等加速度系」へと、自然に拡張したモノ――と言うコトができます。でも、この定義だと、「等加速度系（$\kappa_{\mathrm{A}}$ 系）」の「時刻」と、この「等加速度系（$\kappa_{\mathrm{A}}$ 系）」の任意の位置座標 $\xi$ に付随する時計（すなわち、質点 $\mathrm{B}$ が持つ時計）の「時刻」が、異なってしまう――という、とても具合の悪い状況が生じます。このコトは、たとえば、他の座標系と、「時刻」を比較するときには、致命的な問題になると思われます。一方で、たとえば、別の座標系の、任意の位置座標に固定された点を、質点 $\mathrm{A}$ から見たときの運動の様子（速さ $d\xi/d\tau$ など）を考える場合には、都合が良いのかも知れません。たとえば、加速する宇宙船（すなわち、質点 $\mathrm{A}$）から見て、地球（すなわち、慣性系の 1 点に固定された質点）が、どのような速さで遠ざかるか／近づくかを調べる場合には、この定義が便利かも知れません。
□この定義では、この「等加速度系（$\kappa_{\mathrm{A}}$ 系）」の任意の位置座標に付随する時計（つまり、質点 $\mathrm{B}$ が持つ時計）の「時刻」が、位置座標 $\xi$ の値に依存して、変わってしまいます。したがって、この「等加速度系（$\kappa_{\mathrm{A}}$ 系）」の時刻を表すときには、どの位置座標の時刻を指しているのかを、明示する必要があります。そのため、「等加速度系（$\kappa_{\mathrm{A}}$ 系）」の時刻を表す記号 $\tau_{\mathrm{A}, \ \xi}$ には、位置座標を示す添え字が付いています。ただし、単純に $\tau_{\xi}$ とすると、原点（$\xi = 0$）の時刻を表すのに、$\tau_{0}$ と書くコトになります。この $\tau_{0}$ という記号は、すでに、別の意味で使っているので、少し面倒ですけど、この「等加速度系（$\kappa_{\mathrm{A}}$ 系）」の時刻を表す記号は、$\tau_{\mathrm{A}, \ \xi}$ としました。 □こちらの定義では、【3-a】の定義とは逆に、別の慣性系や非慣性系と、時刻を比較するのには、とても合理的と思われますけど、この「等加速度系（$\kappa_{\mathrm{A}}$ 系）」全体に共通の一意的な「時間」というモノが存在しない――という、とても具合の悪い状況が生じます。
□いっそのコト、「自分自身は、一定の加速度 $\alpha$ を感じている」と主張する観測者（ないしは、質点）の集まりを、「加速度 $\alpha$ の等加速度系」と定義してしまえば、良いではないか――と思ってしまいますね。もちろん、この考え方では、「加速度 $\alpha$ の等加速度系」の「空間」を、どう定義するのか――という問題が生じるでしょう。さらに、「時間」を、どう定義すれば良いのかも、簡単には解決できません。思考実験としては、とてもオモシロいと思いますけど、またの機会に考えるコトにしましょう。
でなければならないというコトが分かります。この（12.3）式は、第 6 節の図において、慣性系（$k_{0}$ 系）から見た質点 $\mathrm{A}$ の軌跡の 2 つの漸近線よりも、上側の領域を示しています。逆に言えば、慣性系（$k_{0}$ 系）から見た質点 $\mathrm{A}$ の軌跡の 2 つの漸近線よりも下側の領域は、「質点 $\mathrm{A}$ のいる等加速度系（$\kappa_{\mathrm{A}}$ 系）」にとって、無限遠（$\xi = -\infty$）の点より、さらに向こう側の領域――つまり、「質点 $\mathrm{A}$ のいる等加速度系（$\kappa_{\mathrm{A}}$ 系）」にとって、存在しない領域（数学的に言えば、「定義できない領域」）である――というコトを、意味しています。 □このコトについては、次のような思考実験を考えてみると、事情が、よりハッキリするでしょう。いま、慣性系（$k_{0}$ 系）の位置座標 $x = x_{\mathrm{P}}$ に固定されている点 $\mathrm{P}$ から、一定の加速度 $\alpha$ を感じている質点 $\mathrm{A}$ に向かって、一定の時間間隔 $\varDelta t$ で、光信号を発信し続けるとします。ただし、点 $\mathrm{P}$ は、質点 $\mathrm{A}$ の「後ろ側（加速度 $\alpha$ の向きの反対側）」にあります。このとき、質点 $\mathrm{A}$ が、光信号を受け取る時間間隔 $\varDelta\tau$ は、 となります。ココで、$t_{\, \mathrm{send}}$ は点 $\mathrm{P}$ が光信号を発信した時刻（慣性系（$k_{0}$ 系）の時刻）、$\tau_{\, \mathrm{receive}} \:$ は質点 $\mathrm{A}$ が光信号を受信する時刻（質点 $\mathrm{A}$ が持つ時計の時刻）です。両式によって、点 $\mathrm{P}$ は一定の時間間隔 $\varDelta t$ で光信号を発信していたとしても、時間が経過するにしたがって、質点 $\mathrm{A}$ が光信号を受信する時間間隔 $\varDelta\tau$ が、どんどん大きくなっていくコトが分かります。特に、（12.4a）式より、$t_{\, \mathrm{send}}$ が（12.3）式の 1 つ目の条件を満たさなくなるとき、つまり、$t_{\, \mathrm{send} \,} = (1/c) \, (x_{\mathrm{P}}+c^{2}/\alpha)$ のとき、$\varDelta\tau = \infty$ となります。コレは、点 $\mathrm{P}$ からの光信号が、決して、質点 $\mathrm{A}$ に到達しない――というコトを意味します。すなわち、（12.3）式の 1 つ目の条件を満たさない領域で、ナニが起きようと、質点 $\mathrm{A}$ がそれを知るコトも、それに影響されるコトも、未来永劫、絶対に、ありえないのです。そういうワケで、「質点 $\mathrm{A}$ のいる等加速度系（$\kappa_{\mathrm{A}}$ 系）」にとって、（12.3）式の条件を満たさないような領域は、存在しない領域である――と表現した意味が、イメージできたでしょうか。
□一方で、（12.4b）式より、有限の $\tau_{\, \mathrm{receive}} \:$ では、$\varDelta\tau$ が $\varDelta\tau = \infty$ になるコトは、ありません。つまり、質点 $\mathrm{A}$ にとっては、点 $\mathrm{P}$ からの光信号が届かなくなるコトは、ありません（もちろん、ドップラー効果によって、点 $\mathrm{P}$ からの光信号は、時間の経過とともに、振幅はどんどんと小さくなるし、波長はどんどんと長くなっていきます）。ただし、質点 $\mathrm{A}$ に届く光信号は、あくまで、（12.3）式の 1 つ目の条件を満たす時刻に点 $\mathrm{P}$ から発信された光信号だけです。質点 $\mathrm{A}$ から見ると、点 $\mathrm{P}$ が持つ時計は、進み方がどんどん遅くなっていって、最後には（質点 $\mathrm{A}$ が持つ時計の時刻 $\tau$ で $\tau \rightarrow \infty$ になるときには）、点 $\mathrm{P}$ が持つ時計の時刻が $t_{\, \mathrm{send} \,} = (1/c) \, (x_{\mathrm{P}}+c^{2}/\alpha)$ になって、停止してしまう――というように感じるでしょう。
□コレを分かりやすく言い換えると、次のようになります。まず、一定の加速度 $\alpha$ を感じている質点 $\mathrm{A}$ に対して静止している（つまり、質点 $\mathrm{A}$ から見て、常に等しい距離にある）、時計を持つ質点 $\mathrm{B}$ の集まりを考えます。その上で、慣性系（$k_{0}$ 系）に固定された任意の点 $\mathrm{P}$ の時刻および位置座標 $(t, \ x)$ と、点 $\mathrm{P}$ と同じ場所にある（同じ場所に来る）質点 $\mathrm{B}$ が持つ時計の時刻、および、その質点 $\mathrm{B}$ の位置座標 $(\tau_{\mathrm{A}, \ \xi} \, ,\ \xi)$ の関係を、調べてみるとどうなるのかを、考えてみるのです。 □しつこいようですけど、このような「質点 $\mathrm{B}$ の集まり」は、あくまで、仮想的なモノです。宇宙船から見たときに、実際に観測される対象の位置や時刻を調べるときには、前に述べたように、対象から出た光の軌跡を考える必要があります。ココでは、あくまでも、興味深い頭の体操として、「（一定の加速度 $\alpha$ を感じている）質点 $\mathrm{A}$ のいる等加速度系（$\kappa_{\mathrm{A}}$ 系）」とは、いったい、どういうモノなのかというコトを実感するために、とりあえず、具体例を見てみようではないですか――というワケです。
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