■宇宙空間を航行する宇宙機の運動を考えたり、宇宙空間で放出された物体の運動を調べたりするための、専門の研究分野が、「軌道力学」です。また、ほとんどの「力学」の教科書・入門書では、必ず、「2 体問題」や、「ケプラー問題（太陽の周りを周回する惑星の運動を解明する問題）」を取り上げて、詳しく説明しています。コレらは、物理学や力学を、学び始める人たちにとって、とても良い、挑戦しがいのあるテーマだからです。

■でも、「軌道力学」の教科書・入門書では、「離心近点離角 $E$」や「平均近点離角 $M$」などの、「確かに、重要・必要なコトは分かるけど、どんな天才が、ナニを考えたら、こんな発想が、ドコから、出てくるんだ？」と、思わずにはいられない、奇抜な視点やアイデアが、次々と現れます。だから、「平凡な自分は、結果と公式だけを覚えて、それを使えるようになれれば、十分だ……」と、打ちのめされてしまわないか、心配です。

□もちろん、「離心近点離角」や「平均近点離角」などが考え出された、歴史的な必然性は、ありました。現代の私たちは、太陽の周りをまわる惑星が描く軌道を、「運動方程式」を解いて、知るコトができます。でも、運動方程式を知らない、当時の人たちは、惑星がどんな軌道上を動いているのかを、地上からの観測によって、調べるしかありませんでした。太陽の周りを運動している地球上の観測者が、他の惑星の運動を観測するのですから、その観測結果を、どのように解釈すれば良いのかを判断するのは、簡単ではないハズです。しかも、その当時は、地球の周りを、太陽や惑星がまわっているのか、太陽の周りを、地球や惑星がまわっているのか、そのどちらでもないのかさえ、議論が紛糾していました。もし、太陽の周りを、地球や惑星がまわっているなら、どんな運動をしているか分からない地球上での観測結果だけから、どんな運動をしているか分からない惑星の軌道を、解明しなければいけないコトになります。その困難さが、いかに筆舌に尽くしがたいモノであるかは、容易に想像できるでしょう。そのような模索の過程で、「軌道外接円」や「離心近点離角」といったアイデアが生まれたのは、自然な成り行きだったようにも思えます（特に、当時は、「完全なる神が創りたもうた天の星々は、完全なる形である円軌道上を動く」と、信じられていたコトを思うと、「軌道外接円」や「離心近点離角」といった発想は、むしろ、必然だったのかも知れません）。コレらの概念が生まれ、必要とされた経緯については、ぜひ、「ケプラー方程式」を調べてみて下さいね。

□ちなみに、軌道力学では、3 次元図形を、頭の中に描いて、それを、脳内で、グリグリと動かす能力が、求められます。コレは、一輪車に乗る練習と同様、一部の天才を除けば、訓練で習得する必要があります。一輪車と同様、藤野のように、頑張っても、なかなか、できるようにならない人も、少なくないでしょう。でも、最近は、画面上に、CG で、自在に軌道図を描いたり、その図を動かしたりできるので、安心です。

■他方で、「力学」の教科書・入門書では、運動方程式から、物体の軌道の形を導いただけで、満足してしまうモノが、多いようです。もちろん、考える物体が、どのような軌道を描いて動くのかを解明するコトは、とても重要です。けれども、時刻と速さの関係や、時刻と位置の関係を導くコトこそ、運動方程式を解く、最大の目的であり、至高の醍醐味でもあるハズです。確かに、運動方程式から、時刻と速さの関係や、時刻と位置の関係を導くトコロまで、解説している教科書も、少なくありません。でも、その多くは、わざわざ、「ベッセル関数」のような、新たな（それを解説するだけでも、1 冊の本になるような）難解な概念を、持ち出してくるのです。高校数学の知識を用いて、運動方程式を、正攻法で積分していくだけで、物体が描く軌道の形も、時刻と速さの関係や、時刻と位置の関係も、簡単に計算できるのに、どうして、ほとんどの「力学」の教科書・入門書では、そうしないのか――藤野は、不思議でたまりません。

■そんなワケで、ココでは、中心天体の重力圏内を運動する小物体に注目して、奇をてらうコトなく、愚直に、運動方程式を解いていくコトで、その運動の様子を、詳しく調べたいと思います。そうするコトで、たとえば、「地球周回軌道上の人工衛星が、いつ、どこの上空を通過するのか」、「探査機が、目的の惑星を目指すには、どんな軌道設計が必要か」、「宇宙船から放出された物体は、どのように動いて見えるのか」といったコトも、計算できるようになるハズです。決して、エレガントな解き方ではないかも知れません。実用という点からも、決して、有用性において優れているとは言えません。それでも、高校数学の知識だけで、愚直に、運動方程式を解いていくコトで、ナニができて、どれほどの成果が得られるのか、ぜひ、体感してみて下さいね♪

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■まず、ココで考える問題を、厳密に決めておきたいと思います。いま、中心天体（地球でも、太陽でも、他の惑星でも、ナンでも良いです）が、座標原点に、固定されているとします。もちろん、「2 体問題」では、固定されていなくても、運動方程式を解くコトは、それほど難しくありません。でも、現実的な状況を考えたとき、たとえば、「宇宙船に、（地球による）万有引力がはたらくのと同時に、地球にも、（宇宙船による）万有引力がはたらくコトを考慮して、計算を進めなければいけない」というのは、（正論ですけど）要求が過剰すぎて、あまり意味がありません（月質量ほどの宇宙船を考えるのならば、ハナシは変わってきますけど）。ココでは、現実的に、「この問題で考える万有引力は、中心天体の質量に対しては、無視できるほど小さいので、中心天体は、動かないとみなせる」、すなわち、「中心天体は、座標原点に、固定されている」と仮定します。

□ココでは扱いませんけど、考える物体に、万有引力がはたらくのと同時に、中心天体にも、作用・反作用の法則から、同じ大きさの万有引力がはたらく――というコトを考慮して、計算を進めてみると、興味深い事実が、いろいろ、見つかるでしょう。多くの教科書や記事で、詳しく解説されていますので、ぜひ、挑戦してみて下さいね。たとえば、太陽と木星の「2 体問題」は、ちょっと、オモシロいと思いますよ♪

■さて、上の仮定を踏まえて、ココで考える問題を、「原点に固定された質量 $M$ の中心天体と、自由に動ける質量 $m$ の（十分に小さな）物体がある。物体にはたらく力は、中心天体による万有引力（ココでは、「重力」と同じ意味になるので、以下、「重力」と書くコトにします）だけであるとする。このとき、物体がどのような運動をするのか、運動方程式を解くコトで、解明する」と、定めます。

□考える物体に対して、「十分に小さな」という条件を補ったのは、大きな物体では、中心天体に近い部分にはたらく重力の大きさや向きと、中心天体から遠い部分にはたらく重力の大きさや向きに、無視できない「差」が生じるコトで、問題が複雑になってしまうからです。ちなみに、問題が、どのように複雑になり、どんな興味深い現象が現れるのか、気になる人は、ぜひ、「潮汐力」について、調べてみて下さい。また、さらに、「潮汐摩擦・潮汐ロック」や「ロッシュ限界」についても、調べてみると、オモシロいですよ♪

□他方で、中心天体のほうは、「質量分布が、球対称」という条件を満たせば、どんな大きさでも、以下の議論が、そのまま成り立ちます（もちろん、中心天体が大きい場合には、考える物体が、中心天体に、衝突してしまう――という、新たな可能性が生じますけど）。ほとんどの恒星や惑星は、近似的に、この条件を満たしていると、みなせます。ただし、どんな恒星や惑星でも、完全な球体ではないですし、少なからず、内部の質量分布は偏っていて、たとえば、地球周回軌道をまわる人工衛星では、地球の形や質量分布の偏りのため、特に厳密な軌道を計算するには、複雑な補正が必要になります。補正が必要な場合や、どんな補正が必要になるのかについては、「おまけ： 実際の宇宙機の運用」で、簡単に触れたいと思います。

□ちなみに、質量分布が球対称の場合に、中心天体の大きさにかかわらず、以下の議論が成り立つコトは、実は、物理的にも、数学的にも、とても興味深い事実です。高校までの知識で説明するコトは厳しいので、詳しいハナシは割愛しますけど、気になる人は、「ガウスの定理・ガウスの法則」を、勉強して下さいね。

■ところで、この物体にはたらく力（重力）の向きは、常に、物体から原点へと伸びる直線（半直線）に沿った向きと、同じになります。物理学では、常に、物体と原点を結ぶ直線に沿った向きにはたらく力を、「中心力」と呼びます。もちろん、重力が、中心力（の一種）であるコトは、明らかです。一般に、物体にはたらく力が、中心力だけの場合、物体は、初期条件で決まる平面（「軌道面」と呼びます）に沿って運動する――というコトが、良く知られています（なぜ、そうなるのかを、高校までの知識で証明するのは、ちょっと難しいので、ココでは省略します。多くの教科書や記事で、説明されているので、自信があるのなら、ぜひ、証明に挑戦してみて下さいね）。数学的に述べると、「一般に、物体の位置は、座標 $(x, \ y, \ z)$ で表されるけど、$x$ 軸と $y$ 軸が張る平面を、軌道面と一致させると、物体の $z$ 座標は、常に、$z = 0$ になる」となります。すなわち、ココで考える物体の運動は、本質的には、平面上（軌道面上）の運動（2 次元運動）になるのです。そこで、以下では、この物体の位置を、座標 $(x, \ y)$ で表します。また、解明すべき問題は、「考える物体の位置 $(x, \ y)$ が、時間の経過とともに、どのように変化するのか」と、書き直されるコトになります。そして、「解くべき運動方程式」は、

となります。ココで、$F_{x}, \ F_{y}$ は、それぞれ、物体にはたらく力 $\boldsymbol{F}$ の $x$ 方向成分、$y$ 方向成分です。（1.1a）〜（1.1b）式で表される運動方程式を解けば、問題は解決です。

 ■極座標の導入、および、デカルト座標から極座標への変換 ――　　

■解くべき運動方程式が分かったので、早速、（1.1a）〜（1.1b）式を解きましょう。そのためには、物体にはたらく力 $\boldsymbol{F}$ の具体的なカタチが、分からなければいけません。良く知られているように、この問題の場合、物体にはたらく重力の大きさ $F$ は、原点から物体までの距離を $r$、万有引力定数を $G$ とすると、

で与えられます。マイナス符号は、原点から物体までの距離 $r$ が減少する向き（すなわち、物体から原点へと向かう向き）に、力がはたらくコトを、意味しています。ただし、ココから、（1.1a）〜（1.1b）式の $F_{x}, \ F_{y}$ の具体的なカタチを考えるのは、少し、タイヘンです。でも、心配は要りません。うまい方法が、あるのです。


■上の左側の図を、見て下さい。通常、点 $\mathrm{P}$ の位置は、座標 $(x, \ y)$ で表します。でも、原点からの距離 $r$ と、$x$ 軸から測った角度 $\theta$ を使って、座標 $(r, \ \theta)$ と表すコトもできます。どちらも、同じ点 $\mathrm{P}$ の位置を表しているコトは、明らかです。なお、$(x, \ y)$ は「デカルト座標（による表示）」、$(r, \ \theta)$ は「極座標（による表示）」と呼ばれています。さらに、$r$ は「動径」、$\theta$ は「偏角」または「方位角」と呼ばれます。左の図より、$(x, \ y)$ と $(r, \ \theta)$ のあいだには、一般に、次の関係が成り立っているコトが、分かります。

■さて、（1.3a）〜（1.3b）式より、合成関数の微分の公式を用いて、一般に、

となるコトが分かります。さらに、続けて、合成関数の微分の公式を用いるコトで、次の関係式が得られます。

■次に、点 $\mathrm{P}$ にはたらく力 $\boldsymbol{F}$ について、考えます。上の右側の図を、見て下さい。一般に、点 $\mathrm{P}$ にはたらく（中心力とは限らない）力 $\boldsymbol{F}$ を、それぞれの方向に分解したときの、各成分は、次のように表されます。

ココで、良く知られた三角関数の公式 $\sin^{2}{A}+\cos^{2}{A} = 1$、および、$\sin{(A-B)} = \sin{A} \, \cos{B}-\cos{A} \, \sin{B}$ と $\cos{(A-B)} = \cos{A} \, \cos{B}+\sin{A} \, \sin{B}$ を用いて、整理すると、ただちに、次の関係式が得られます。

■（1.6a）〜（1.6b）式と、（1.9a）〜（1.9b）式を、（1.1a）〜（1.1b）式に代入すると、デカルト座標で表された運動方程式を、極座標で表すコトができます。良く知られた三角関数の公式 $\sin^{2}{A}+\cos^{2}{A} = 1$ を用いて、整理すると、ただちに、

となります。ところで、（1.10b）式の右辺のカッコ $\{\ \}$ のなかは、積の微分公式のカタチ、すなわち、

のように、$r^{2} \times d\theta/dt$ を $t$ で微分した結果の一部である――というコトに、気づけたでしょうか。（1.11）式を用いると、（1.10b）式を、（質量 $m$ が定数であるコトに注意して）次のように書き直すコトができます。

■考える物体の位置を、デカルト座標 $(x, \ y)$ で表したとき、時間が経過していくとともに、物体の位置 $(x, \ y)$ がどのように変化していくのかを、高校までに習った運動方程式＝（1.1a）〜（1.1b）式で、計算するコトができました。同じように、考える物体の位置を、極座標 $(r, \ \theta)$ で表したときには、時間経過とともに、物体の位置 $(r, \ \theta)$ がどのように変化していくのかを、（1.10a）式、（1.12）式で、計算するコトができるのです。

 ■角運動量の導入、および、極座標で表された運動方程式 ――　　

■ココで、便利な物理量を、いくつか、導入しておきましょう。まず、偏角 $\theta$ の定義より、$d\theta/dt$ は、「原点を中心とした、単位時間当たりの偏角の変化量」を、意味します。この $d\theta/dt$ を、「角速度」と呼び、記号 $\omega$ で表します。また、点 $\mathrm{P}$ の速度 $\boldsymbol{v}$ の $\theta$ 方向（動径 $r$ はそのままで、偏角 $\theta$ だけを変化させる方向）成分 $v_{\theta}$ は、「弧度法」により、$v_{\theta} = r \, d\theta/dt = r\omega$ と表すコトができます（先の左側の図を良く見て、点 $\mathrm{P}$ が、いろいろな方向に動くときに、$\omega, \ v_{\theta}$ が、それぞれ、ナニを表すのか、しっかりとイメージを掴んでおいて下さい。弧度法については、高校の数学を、復習して下さい）。以上のハナシを踏まえて、（1.12）式の右辺のカッコ $\{\ \}$ のなかを、「角運動量」と定義するコトにして、記号 $L$ で表します。まとめると、次のようになります。

■新たに導入した角運動量 $L$ を用いると、極座標で表された運動方程式＝（1.10a）式、（1.12）式は、

と書き直すコトができます。ココまでの議論から明らかなように、（1.14a）〜（1.14b）式は、はたらく力が中心力だけの場合に限らず、どんな状況に対しても成り立つ、「極座標で表された運動方程式」です。つまり、どんな状況でも、物体の位置 $(x, \ y)$ が、デカルト座標で表された運動方程式＝（1.1a）〜（1.1b）式に従って変化するのと同様に、物体の位置が $(r, \ \theta)$ で表されている場合には、物体の位置 $(r, \ \theta)$ は、極座標で表された運動方程式＝（1.14a）〜（1.14b）式に従って変化する――というワケです。

□ちなみに、（1.14a）式の $L^{2}/mr^{3}$ という項は、必ず、正の値になります（定義より、動径 $r$ は、必ず、正の値をとるコトを、思い出して下さい）。（1.14a）式より、（$F_{r}$ を無視すると）この項が正ならば、$d^{2}r/dt^{2}$ も、必ず、正になります。すなわち、$L^{2}/mr^{3}$ という項は、「動径 $r$ を増加させる向きにはたらく（見かけ上の）力」＝「遠心力」を表している――と、みなすコトができます。

□また、（1.14b）式の $rF_{\theta}$ という項は、単位時間あたりの角運動量 $L$ の変化量（$dL/dt$）と、等しいコトが分かります。つまり、（1.14b）式より、角運動量 $L$ の時間変化の様子を知りたい場合は、$rF_{\theta}$ という量だけを、調べれば良いコトが分かります。この $rF_{\theta}$ という量を、「トルク」と呼びます。

 ■物体にはたらく力が、中心力だけの場合の運動方程式 ――　　

■（1.14a）〜（1.14b）式は、考える物体に、どんな力がはたらいている場合でも成り立つ運動方程式です。でも、ココで考えるべき問題は、「原点に固定された質量 $M$ の中心天体と、自由に動ける質量 $m$ の（十分に小さな）物体がある。物体にはたらく力は、中心天体による万有引力＝重力だけであるとする。このとき、物体がどのような運動をするのか、運動方程式を解くコトで、解明する」であったコトを、思い出しましょう。この物体にはたらく力の大きさ、つまり、重力の大きさは、（1.2）式で与えられています。力の向きについては、先の右側の図を見れば明らかなように、この物体にはたらく力＝重力は、必ず、動径 $r$ に沿った向き（原点へ向かう向き）だけに、はたらきます。偏角 $\theta$ が変化する方向には、はたらきません。つまり、常に、$F_{\theta} = 0$ が成り立っています。したがって、この物体が従う運動方程式は、

となります。この（1.15a）〜（1.15b）式こそが、ココで考えている問題における、「解くべき運動方程式」である――というワケです。この運動方程式を解けば、「考える物体の位置 $(r, \ \theta)$ が、時間の経過とともに、どのように変化するのか」が、完全に、解明されるコトになるのです。

■ところで、（1.15b）式が示しているコト――すなわち、角運動量 $L$ が、時刻 $t$ に依らない定数であるコトは、とても重要です。角運動量 $L$ は、（1.13c）式によって、$L = mrv_{\theta}$ と、定義されていました。考える物体の動径 $r$ の値や、偏角方向の速さ $v_{\theta}$ の値は、もちろん、物体の運動にともなって、変化していきます。でも、その積である $rv_{\theta}$ の値は、物体にはたらく力が、中心力である場合には、常に一定である――というコトを、（1.15b）式は、示しているのです。（1.15b）式から得られる、この驚くべき事実は、「角運動量の保存則」と呼ばれています。

□上の説明では、質量 $m$ が変化する可能性が、無視されているように感じるかも知れません。けれども、ニュートンの運動方程式は、質量 $m$ の変化しない「質点」の運動を扱っているコトに、注意が必要です。そもそも、ニュートン力学の世界では、「質量の保存則」が成り立っています。「物体の質量の変化」は、「より小さな、質量の変化しない物体の、合体・離散」を、意味します。そのため、質量が変化する運動を考えるときには、その「より小さな、質量の変化しない物体」すべてに対して、ニュートンの運動方程式を適用して、それらの連立方程式を解かなければいけないのです。

□「角運動量の保存則」は、「面積速度一定の法則」を、意味しています。角運動量の保存則は、$rv_{\theta}$ の値が、常に一定であるというコトを示しているので、下の左側の図に示された、グレーの部分の面積が、常に一定になる――と、イメージするかも知れません。でも、実際には、ココで考えている物体は、なめらかな曲線を描いて、運動しています。したがって、「面積速度」を考える場合は、下の右側の図のように、十分に短い時間間隔 $\varDelta t$ ごとに、グレーで示した部分の面積（微小面積）を求めて、それらを、考える時間全体にわたって、積分する必要があります。図より、この微小面積の大きさは、必ず、$(rv_{\theta}\varDelta t)/2$ になるので、角運動量の保存則より、$\varDelta t$ の値が同じならば、この微小面積の大きさは、常に一定になります。コレが、「面積速度一定の法則」の、本当の意味です。

■角運動量の保存則より、いま、初期条件として、時刻 $t = 0$ のときの、考える物体の動径を $r_{0}$、偏角方向の速さを $v_{\theta 0}$ とおくと、次の関係式が成り立つコトは、明らかです。

したがって、もし、初期条件として、考える物体の動径 $r_{0}$、偏角方向の速さ $v_{\theta 0}$ が与えられている場合には、解くべき運動方程式＝（1.15a）式は、ただちに、

と表せるコトが分かります。解くべき運動方程式に、考える物体の質量 $m$ が含まれない――すなわち、考える物体の運動は、その物体の質量 $m$ に依存しない――というコトは、注目に値します。

■以上で、解くべき運動方程式＝（1.15a）〜（1.15b）式を、明らかにするコトができました。あとは、この運動方程式を、解いていけば良いだけです。さっそく、次節から、さまざまな初期条件（具体的には、初期位置の座標 $(r_{0}, \ \theta_{0})$、初速度 $(v_{r0}, \ v_{\theta 0})$）のもとで、実際に、この運動方程式を、解いていきましょう。

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■まず、最初に、角運動量 $L$ がゼロの場合の運動方程式を、解いてみましょう。角運動量 $L$ は、$L = mrv_{\theta}$ で与えられていました。$m, \ r \ne 0$ なので、$L = 0$ というコトは、偏角方向の速さ $v_{\theta}$ がゼロ（$v_{\theta} = 0$）というコトです。コレは、偏角 $\theta$ の値が、常に一定で変化しないコトを、意味します。すなわち、時刻 $t = 0$ のときの、考える物体の偏角の値を $\theta_{0}$ で表すと、常に $\theta = \theta_{0}$ が成り立つ――というコトです。このコトから、この物体の位置を知るには、動径 $r$ の値だけを調べれば良い――というコトになります。最初に示した、デカルト座標と極座標の関係を表した図を思い出すと、この場合、この物体は、1 直線上のみを運動するコトが、分かります。つまり、角運動量 $L$ がゼロの場合、考える物体の運動は、1 直線上を動く、1 次元運動となるのです。

□上の説明のなかで、「$m, \ r \ne 0$ なので」と書きました。$m \ne 0$ であるコトは、明らかでしょう。一方、運動方程式＝（1.17）式は、$r = 0$ で発散するので、$r = 0$ の場所（原点）は、特異点です。特異点では、運動方程式を計算するコトはできません。そのため、$r \ne 0$ とみなす必要があるワケです。現実的なハナシとしても、中心天体は、必ず、ある大きさを持ちます。よって、考える物体の動径 $r$ は、中心天体の半径よりも、小さくなるコトはできません。いずれにせよ、$r = 0$ となる可能性を考えるコトは、無意味です。

■さて、角運動量 $L$ がゼロの場合、解くべき運動方程式＝（1.15a）式は、

となります。また、角運動量 $L$ がゼロの場合、上で説明したように、偏角方向の速さ $v_{\theta}$ が常にゼロ（$v_{\theta} = 0$）なので、考える物体の速さ $v$ は、動径方向の速さ $v_{r}$ と等しくなります。すなわち、

が成り立ちます。したがって、（2.1）式は、

と表すコトができます。（2.3）式より、$dv/dt$、すなわち、加速度が、常に負の値になる――というコトが、分かります（コレは、あとの計算のときに重要になるので、ぜひ、覚えておいて下さいね）。

■（2.3）式の右辺を見ると、この式の両辺を $t$ で積分できれば、$v$ を求めるコトができそうです。でも、この式の左辺を $t$ で積分したら、どうなるのかは、簡単には、分かりそうにありません。ナニか別の計算方法を、考える必要がありそうです。

 ■エネルギー積分（角運動量がゼロの場合）――　　

■ココで、物理学ならではの計算テクニックを、紹介しましょう。そのために、まず、物理学における「仕事」の定義を、思い出して下さい。物理学における「仕事」は、「物体にはたらく力」×「物体の移動距離」で定義されます。すなわち、物体が、力 $F$ を受けて、微小距離 $dr$ だけ移動したとき、力 $F$ のした微小仕事 $dW$ は、

で定義されます。このときの物体の移動速度 $v$ が分かっている場合には、物体が微小距離 $dr$ だけ移動するのに要した微小時間を $dt$ とすれば、（2.4）式は、

と表すコトもできます。したがって、この物体が、時刻 $t_{\mathrm{A}}$ に位置 $r_{\mathrm{A}}$ を出発して、時刻 $t_{\mathrm{B}}$ に別の位置 $r_{\mathrm{B}}$ まで移動した場合、力 $F$ のした仕事 $W$ は、一般に、以下の式で、計算するコトができます。

■さて、（1.2）式により、（2.3）式の左辺は、考える物体にはたらく力 $F$ に等しいので、（2.3）式の右辺も、この力 $F$ に等しいハズです。よって、物体が移動したときの、力 $F$ のした仕事 $W$ を、$F$ の 2 つの表式を使って、別々に計算できます。いま、考える物体が、時刻 $t = 0$ に位置 $r_{0}$（初期位置）を出発して、時刻 $t$ に位置 $r$ まで移動したとします。このとき、仕事 $W$ は、（2.6）式より、（2.3）式の左辺を使うと、ただちに、

と計算できます（角運動量がゼロの場合、物体の位置は、動径 $r$ の値だけで決まるコトに注意）。

■一方、同じ仕事 $W$ を、（2.3）式の右辺を使って、計算すると、（2.6）式より、ただちに、

となります。したがって、いま、時刻 $t = 0$ のときの物体の速さ（初速度）を $v_{0}$、時刻 $t$ のときの物体の速さを $v$ で表したとき、仕事 $W$ は、ただちに、

と計算できます。

□ちなみに、（2.8）式の右辺の積分は、いろいろな計算方法がありますけど、たとえば、部分積分の公式

■（2.7）式と（2.9）式は、ともに、考える物体が力を受けて移動したときに、その力がした仕事 $W$ を、計算した結果です。同じ量を計算した結果ですので、当然、（2.7）式と（2.9）式は、等しいハズです。つまり、

という関係が成り立っているハズです。指摘するまでもなく、すぐに、（2.12）式の左辺は「時刻 $t$ のときの力学的エネルギー」、（2.12）式の右辺は「時刻 $t = 0$ のときの力学的エネルギー」になっている――というコトに、気がつくでしょう。すなわち、（2.12）式は、「力学的エネルギーの保存則」を表しています。

□ココまでの、一連の計算を、「エネルギー積分」と呼ぶコトがあります（ただし、多くの人に共有された厳密な定義を持つような、一般的に用いられる学術用語というワケでは、ないようです）。

□ちなみに、考える物体の位置＝動径 $r$ が、初期位置 $r_{0}$ から、あまり離れていない場合――具体的には、新たな変数 $\varDelta r \equiv r-r_{0}$ を考えたとき、$\lvert \, \varDelta r \, \rvert/r_{0} \ll 1$ とみなせる場合、（2.12）式の左辺第 1 項は、

 ■解くべき微分方程式（角運動量がゼロの場合）――　　

■さて、角運動量がゼロの場合、定義により、$v = dr/dt$ なので（（2.2）式を参照）、（2.12）式は、$t$ と $r$ に関する微分方程式であるとみなすコトができます。したがって、（2.12）式を微分方程式とみなして、この微分方程式を解けば、考える物体の、時刻 $t$ と位置＝動径 $r$ の関係が、完全に解明されるコトになります。

■ところで、考える物体の質量 $m$ は、$m \ne 0$ なので、（2.12）式の両辺を $m$ で割るコトができます。いま、時刻 $t = 0$ のときの「単位質量あたりの力学的エネルギー」を、新たな記号 $\mathcal{E}_{0}$ で表すコトにすると、

となります。角運動量がゼロのとき、$v = dr/dt$ でしたので（（2.2）式を参照）、（2.12）式は、

と書き直すコトができます。この微分方程式＝（2.17）式を解くのは、簡単です。そして、その解によって、考える物体の位置＝動径 $r$ が、時刻 $t$ の関数 $r = r(t)$ として与えられるハズです。すなわち、この微分方程式を解くコトで、考える物体の運動を、完全に解明するコトができるのです。早速、以下で、解いてみましょう。

 ■力学的エネルギーがゼロのときの物体の運動（角運動量がゼロの場合）――　　

■最初に、単位質量あたりの力学的エネルギー $\mathcal{E}_{0}$ がゼロの場合（$\mathcal{E}_{0} = 0$）を、考えてみましょう。この場合、（2.16）式より、物体の初速度 $v_{0}$ は、ただちに（（2.14）式も参照すると）、

でなければいけないコトが分かります（たとえば、初期位置を地表とした場合、つまり、$M$ を地球質量、$r_{0}$ を地球半径とした場合、$v_{0} \simeq \pm 11.2$ [$\mathrm{km/s}$] となります）。また、（2.17）式より、解くべき微分方程式は、

となるコトが分かります。（2.19）式では、物体の速さ $v$ の符号が、確定できません。でも、物体の速さ $v$ の符号が変化するとしたら、そのときは、必ず、$v = 0$ となる瞬間を通るハズです（厳密なハナシは、「中間値の定理」を参照）。動径 $r$ のとりうる範囲は $0 < r < \infty$ なので、（2.19）式の右辺より、速さ $v$ は、ゼロになるコトがない――つまり、この物体の速さ $v$ の符号は、変化しない（常に、初速度 $v_{0}$ の符号と同じになる）コトが分かります。そこで、以下では、初速度 $v_{0}$ が、正の場合（$v_{0} > 0$）と、負の場合（$v_{0} < 0$）に、場合分けして計算してみましょう（なお、（2.18）式より、$\mathcal{E}_{0} = 0$ の場合には、必ず、$v_{0} \ne 0$ です）。

■まず、初速度 $v_{0}$ が正の場合（$v_{0} > 0$）から、計算してみます。この場合、物体の速さ $v$ は、常に正（$v > 0$）になるので、解くべき微分方程式＝（2.19）式は、ただちに、

となります。この微分方程式は簡単に解けて、「時刻 $t = 0$ のときの、考える物体の位置（初期位置）が $r_{0}$」という初期条件が与えられているとき、時刻 $t$ のときの、考える物体の位置を $r$ で表すと、ただちに、

となります。（2.18）式より、（2.21）式は（いま、$v_{0} > 0$ の場合を考えていたコトに注意して）、

と表すコトもできます。（2.21）〜（2.22）式により、考える物体の位置＝動径 $r$ が、時刻 $t$ の関数 $r = r(t)$ として与えられたので、この場合の考える物体の運動は、完全に解明されたコトになります。

■初速度 $v_{0}$ が負の場合（$v_{0} < 0$）も、まったく同じ要領で、計算できます。結果だけを示すと、

となります。（2.23）式により、この場合の考える物体の運動も、完全に解明されたコトになります。

 ■力学的エネルギーが正のときの物体の運動（角運動量がゼロの場合）――　　

■次に、単位質量あたりの力学的エネルギー $\mathcal{E}_{0}$ が正の場合（$\mathcal{E}_{0} > 0$）を、考えてみましょう。この場合には、（2.16）式より、物体の初速度 $v_{0}$ は、ただちに（（2.14）式も参照すると）、

でなければいけないコトが分かります。また、（2.17）式より、解くべき微分方程式は、

となるコトが分かります。$\mathcal{E}_{0} = 0$ の場合と同じように、$\mathcal{E}_{0} > 0$ の場合も、動径 $r$ のとりうる範囲は $0 < r < \infty$ なので、（2.25）式の右辺より、速さ $v$ は、ゼロになるコトがない――つまり、この物体の速さ $v$ の符号は、変化しない（常に、初速度 $v_{0}$ の符号と同じになる）コトが分かります。そこで、今回も、初速度 $v_{0}$ が、正の場合（$v_{0} > 0$）と、負の場合（$v_{0} < 0$）に、場合分けして計算してみましょう（なお、（2.24）式より、$\mathcal{E}_{0} > 0$ の場合も、必ず、$v_{0} \ne 0$ です）。

■まず、初速度 $v_{0}$ が正の場合（$v_{0} > 0$）から、計算してみます。この場合、物体の速さ $v$ は、常に正（$v > 0$）になるので、解くべき微分方程式＝（2.25）式は、ただちに、

となります。この微分方程式も簡単に解けて、「時刻 $t = 0$ のときの、考える物体の位置（初期位置）が $r_{0}$」という初期条件が与えられているとき、時刻 $t$ のときの、考える物体の位置を $r$ で表すと、ただちに、

を満たすコトが分かります。この右辺の積分は、まず、$X = \sqrt{\smash[b]{1 + ( \mathcal{E}_{0}/GM ) \, r}}$ とおいて置換積分すると、$\mathcal{E}_{0} > 0$ のとき、必ず、$X > 1$ であるコトに注意して、ただちに（以下、積分範囲の表記は、適宜、省略します）、

のように、良く知られたカタチの積分に変形できます。このカタチの積分は、双曲線関数を使って、$X = \cosh{Y}$ とおいて置換積分すると、以下のように計算できます（この計算で使われている双曲線関数の公式は、すべて、『双曲線関数 ―― 便利な公式一覧』に、まとめられています。ぜひ、1 つ 1 つ、確認してみて下さいね）。

この結果を、（2.28）式に代入して、さらに、（2.27）式に代入すると、最終的なカタチは、ただちに、

となります（（2.30a）式と（2.30b）式は同じモノですけど、双曲線関数のほうが好きな人向けと、対数関数のほうが好きな人向けに、あえて、2 つを並べてみました）。（2.30a）〜（2.30b）式により、考える物体の位置＝動径 $r$ と、時刻 $t$ の関係が（$t = t(r)$ という関数のカタチで）与えられたので、この場合の考える物体の運動は、完全に解明されたコトになります。

□実用的には、時刻 $t$ が与えられたときに、考える物体の位置＝動径 $r$ が得られる関数 $r =r(t)$ のカタチでも、$t$ と $r$ の関係を表すコトができれば、理想的です。でも、残念ながら、$r = r(t)$ という関数のカタチで表すコトは、（少なくとも、高校までに習う知識では）不可能です。ただし、（2.30a）〜（2.30b）式のように、$t = t(r)$ という関数のカタチで、$t$ と $r$ の関係が、厳密に与えられているので、コンピュータで数値計算を行うコトで、時刻 $t$ のときの、考える物体の位置＝動径 $r$ を、知るコトができます。この物体の位置＝動径 $r$ の時間変化の様子を表すグラフを、この節の最後に、まとめて紹介したいと思います。

□ちなみに、初期位置 $r_{0}$ からの変位 $\varDelta r \equiv r-r_{0}$ が、十分に小さい場合には、近似的に、$r \simeq r(t)$ というカタチの関数を、与えるコトができます。まず、考える物体の位置＝動径 $r$ を、$\varDelta r$ を用いて、

■初速度 $v_{0}$ が負の場合（$v_{0} < 0$）も、まったく同じ要領で、計算できます。結果だけを示すと、

となります。この式により、この場合の考える物体の運動も、完全に解明されたコトになります。

□ちなみに、初速度 $v_{0}$ が負の場合も、初速度 $v_{0}$ が正の場合と同じく、$r = r(t)$ という関数のカタチで表すコトは、（少なくとも、高校までに習う知識では）不可能ですけど、初期位置 $r_{0}$ からの変位 $\varDelta r \equiv r-r_{0}$ が、十分に小さい場合には、近似的に、$r \simeq r(t)$ というカタチの関数を、与えるコトができます。$v_{0} < 0$ の場合は、$\sqrt{\smash[b]{v_{0}{}^{2}}} = -v_{0}$（$v_{0} < 0$）となるコトに注意すると、初速度 $v_{0}$ が負の場合も、（2.33）式、および、（2.35）式と、まったく同じ近似式が、得られます。

 ■力学的エネルギーが負のときの物体の運動（角運動量がゼロの場合）――　　

■最後に、単位質量あたりの力学的エネルギー $\mathcal{E}_{0}$ が負の場合（$\mathcal{E}_{0} < 0$）を、考えてみましょう。この場合は、（2.16）式より、物体の初速度 $v_{0}$ は、ただちに（（2.14）式も参照すると）、

でなければいけないコトが分かります。また、（2.17）式より、解くべき微分方程式は、

となるコトが分かります。この場合、ただちに（（2.16）式、および、（2.14）式も用いて）、

を満たす $r_{\mathrm{MAX}}$ のとき、$v = dr/dt = 0$ となるコトが分かります。つまり、考える物体の位置 $r$ が、（2.39）式で与えられる $r = r_{\mathrm{MAX}}$ になったとき、この物体の速さ $v$ は、ゼロになるのです。したがって、考える物体が、この位置 $r_{\mathrm{MAX}}$ に達した前後で、この物体の速さ $v$ の符号が、変化する可能性があります。ココで、
 【A】（2.3）式より、加速度 $dv/dt$ は、常に負の値になる。
 【B】（2.39）式より、$r_{\mathrm{MAX}} \ge r_{0}$ が、必ず、成り立つ。
という点に、注目しましょう。【A】より、もし、考える物体の初速度 $v_{0}$ が $v_{0} \le 0$ ならば、この物体の速さ $v$ は、常に $v \le 0$ となります。この場合、解くべき微分方程式＝（2.38）式の右辺は、常に負となります。他方で、$v_{0} > 0$ の場合には、考える物体の動径 $r$ は、最初は増加していくけれど、$r = r_{\mathrm{MAX}} > r_{0}$ で最大値に達して（【B】を参照）、このときに、速さ $v$ がゼロになります。そして、【A】より、速さ $v$ の符号は、負へと変化します。したがって、$v_{0} > 0$ の場合、$r = r_{\mathrm{MAX}}$ に到達する時刻の前後で、解くべき微分方程式＝（2.38）式の右辺の符号が、正から（ゼロを経由して）負に、変化するコトになります。以上の議論を踏まえて、以下では、初速度 $v_{0}$ が、正の場合（$v_{0} > 0$）と、負の場合（$v_{0} \le 0$）に、場合分けして計算してみましょう。

■まず、初速度 $v_{0}$ が正の場合（$v_{0} > 0$）を、計算してみます。この場合、解くべき微分方程式＝（2.38）式の右辺の符号が、正から（ゼロを経由して）負に、変化します。そのため、解くべき微分方程式＝（2.38）式の右辺の符号が正のときと、負のときに、場合分けして計算する必要があります。そこで、考える物体の位置 $r$ が $r = r_{\mathrm{MAX}}$ となる時刻を、$t_{\mathrm{A}}$ とおきましょう（ちなみに、「A」は「遠地点（apogee）」の頭文字です）。そして、時刻 $t$ が、$t \le t_{\mathrm{A}}$ のときと、$t > t_{\mathrm{A}}$ のときに、場合分けして計算します。

■さて、初速度 $v_{0}$ が正の場合（$v_{0} > 0$）、かつ、$t \le t_{\mathrm{A}}$ のとき、解くべき微分方程式＝（2.38）式は、

となります。この微分方程式は簡単に解けて、「時刻 $t = 0$ のときの、考える物体の位置（初期位置）が $r_{0}$」という初期条件が与えられているとき、時刻 $t \le t_{\mathrm{A}}$ のときの、考える物体の位置を $r$ で表すと、ただちに、

を満たすコトが分かります。この右辺の積分は、先ほどと同じように、まず、$X = \sqrt{\smash[b]{1 - ( -\mathcal{E}_{0}/GM ) \, r}}$ とおいて置換積分すると、ただちに（以下、積分範囲の表記は、適宜、省略します）、

のように、良く知られたカタチの積分に変形できます。このカタチの積分は、三角関数を使って、$X = \sin{Y}$ とおいて置換積分すると、以下のように計算できます（先ほどと同じように、この計算で使われている三角関数の公式も、すべて、『三角関数 ―― 便利な公式一覧』に、まとめられています。ぜひ、1 つ 1 つ、確認してみて下さいね）。

この結果を、（2.42）式に代入して、さらに、（2.41）式に代入すると、最終的なカタチは、ただちに、

となります。（2.44）式により、考える物体の位置＝動径 $r$ と、時刻 $t$ の関係が（$t = t(r)$ という関数のカタチで）与えられたので、この場合の考える物体の運動は、完全に解明されたコトになります。

■（2.44）式は、時刻 $t$ が $t \le t_{\mathrm{A}}$ の場合に、成り立ちます。$t > t_{\mathrm{A}}$ の場合を考えるために、（2.44）式から、時刻 $t_{\mathrm{A}}$ を、具体的なカタチで求めておきましょう。定義より、時刻 $t_{\mathrm{A}}$ のとき、考える物体の速さ $v$ がゼロ、位置＝動径 $r$ が最大（$r = r_{\mathrm{MAX}}$）となるのでした。（2.39）式で与えられている $r = r_{\mathrm{MAX}}$ を、（2.44）式に代入するコトにより、ただちに、時刻 $t_{\mathrm{A}}$ が、次のように表されるコトが、分かります。

■さて、初速度 $v_{0}$ が正の場合（$v_{0} > 0$）、かつ、$t > t_{\mathrm{A}}$ のとき、解くべき微分方程式＝（2.38）式は、$t \le t_{\mathrm{A}}$ のときと、$t > t_{\mathrm{A}}$ のときで、右辺の符号が変化するのでした。そのため、$0 \le t \le t_{\mathrm{A}}$ の区間を積分するときと、$t_{\mathrm{A}} < t$ の区間を積分するときで、被積分関数が変化するコトに注意して、積分を行います。先ほどと同様に、「時刻 $t = 0$ のときの、考える物体の位置（初期位置）が $r_{0}$」という初期条件が与えられたとき、時刻 $t > t_{\mathrm{A}}$ のときの、考える物体の位置を $r$ で表すと、解くべき微分方程式＝（2.38）式より、ただちに、

が満たされるコトになります。この積分も、先ほどと同様にして解けて、（2.45）式を用いると、ただちに、

となります。（2.47）式により、考える物体の位置＝動径 $r$ と、時刻 $t$ の関係が（$t = t(r)$ という関数のカタチで）与えられたので、この場合の考える物体の運動も、完全に解明されたコトになります。この（2.47）式、および、先に求めていた（2.44）式によって、単位質量あたりの力学的エネルギー $\mathcal{E}_{0}$ が負（$\mathcal{E}_{0} < 0$）、かつ、初速度 $v_{0}$ が正（$v_{0} > 0$）の場合の、考える物体の運動が、あらゆる時刻 $t$ において、完全に解明されました。

□残念ながら、この場合も、時刻 $t$ と、考える物体の位置＝動径 $r$ の関係を、$r = r(t)$ という関数のカタチで表すコトは、（高校までに習う知識では）不可能です。もちろん、この場合も、コンピュータで数値計算を行うコトで、時刻 $t$ のときの、考える物体の位置＝動径 $r$ を、知るコトができます。その結果を示したグラフは、この節の最後に、まとめて紹介したいと思います。

□ちなみに、単位質量あたりの力学的エネルギー $\mathcal{E}_{0}$ が正（$\mathcal{E}_{0} > 0$）の場合と同じようにして、近似的に、$r \simeq r(t)$ というカタチの関数を得るには、少し、注意が必要となります。（2.44）式と（2.47）式の両方に出てくる、$\sqrt{\smash[b]{1 - ( -\mathcal{E}_{0}/GM ) \, r}}$ という部分は、初期位置 $r_{0}$ からの変位 $\varDelta r \equiv r-r_{0}$ と、初期位置 $r_{0}$ での重力加速度 $g_{0}$（（2.14）式を参照）を用いて、

という条件が成り立っていなければならないからです。$\lvert \, \varDelta r \, \rvert/r_{0} \ll 1$ とみなせるだけでは、実用的な $\lvert \, \varDelta r \, \rvert$ の範囲内において、（2.49）式の条件が、常に満たされるとは限りません。特に、初速度 $v_{0}$ がゼロに近い場合には、（2.49）式の条件を満たすコトが、とても難しくなります。

□もし、初速度 $v_{0}$ が $\sqrt{\smash[b]{2g_{0}r_{0}}}$ に近い場合（初期位置 $r_{0}$ が地球表面なら、$v_{0} \simeq 11.2$ [$\mathrm{km/s}$] の場合）には、$\lvert \, \varDelta r \, \rvert/r_{0} \ll 1$ とみなせるとき、（2.49）式の条件が、常に満たされるので、（2.31）〜（2.32）式の近似が有効です。実際に、（2.44）式や（2.47）式に、（2.31）〜（2.32）式の近似を適用すると、驚くべきコトに、どちらも、（2.33）式とまったく同じ、$r \simeq r(t)$ というカタチの近似式が得られます。

□逆に、初速度 $v_{0}$ がゼロに近い場合には、近似の精度は落ちますけど、たとえば、一般に成り立つ、

■初速度 $v_{0}$ が負の場合（$v_{0} \le 0$）も、まったく同じ要領で、計算できます（ただし、この場合には、解くべき微分方程式＝（2.38）式の右辺の符号は、常に負なので、場合分けは必要ありません）。結果だけを示すと、

となります。特に、初速度 $v_{0}$ がゼロ（$v_{0} = 0$）のときには、$\mathcal{E}_{0} = -GM/r_{0}$ となるので、

となります。これらの式により、この場合の考える物体の運動も、完全に解明されたコトになります。

□ちなみに、初速度 $v_{0}$ が負の場合も、初速度 $v_{0}$ が正の場合と同じく、$r = r(t)$ という関数のカタチで表すコトは、（少なくとも、高校までに習う知識では）不可能ですけど、初期位置 $r_{0}$ からの変位 $\varDelta r \equiv r-r_{0}$ が、十分に小さい場合には、近似的に、$r \simeq r(t)$ というカタチの関数を、与えるコトができます。$v_{0} < 0$ の場合は、$\sqrt{\smash[b]{v_{0}{}^{2}}} = -v_{0}$（$v_{0} < 0$）となるコトに注意すると、初速度 $v_{0}$ が負の場合も、（2.33）式、ないし、（2.51）式と、まったく同じ近似式が、得られます。

 ■時刻 $t$ と、考える物体の位置＝動径 $r$ の関係の図示（角運動量がゼロの場合）――　　

■ココまでに得られた結果を、グラフにしてみましょう。いま、中心天体として、地球を考えてみます。まず、静止衛星軌道を初期位置＝動径 $r_{0}$ として、さまざまな初速度 $v_{0}$ で、動径方向に投射する場合の、時刻 $t$ と、考える物体の位置＝動径 $r$ の関係を、図示してみます。なお、単位質量あたりの力学的エネルギー $\mathcal{E}_{0}$ に対し、$\mathcal{E}_{0} > 0$ の場合を赤の実線、$\mathcal{E}_{0} = 0$ の場合を紫の実線、$\mathcal{E}_{0} < 0$ の場合を青の実線で、それぞれ、表しています。

□この節では、「角運動量がゼロ（$L = 0$）の場合」を考えていた――というコトを、思い出して下さい。静止衛星軌道を周回している物体は、おそよ $3.08$ [$\mathrm{km/s}$] の軌道速度で、円運動をしています。そのため、静止衛星軌道を周回している観測者から見て、「真上」や「真下」に、物体が投射されても、それは、実際には、おそよ $3.08$ [$\mathrm{km/s}$] の偏角方向の初速度を持っている（角運動量はゼロではない）コトになります。衛星軌道上から投射された物体の運動については、第 7 節で、簡単に検討したいと思います。

■次に、地表を初期位置＝動径 $r_{0}$ として、さまざまな初速度 $v_{0}$ で、動径方向に投射する場合の、時刻 $t$ と、考える物体の位置＝動径 $r$、および、速さ $v$ の関係を、図示してみます。先ほどと同じく、赤の実線は $\mathcal{E}_{0} > 0$、紫の実線は $\mathcal{E}_{0} = 0$、青の実線は $\mathcal{E}_{0} < 0$ の場合を、それぞれ、表しています（先ほどとは、初期位置＝動径 $r_{0}$ が異なるので、単位質量あたりの力学的エネルギー $\mathcal{E}_{0}$ がゼロになる初速度も、当然、異なっています）。

□ココでも、「角運動量がゼロ（$L = 0$）」という条件を、忘れないで下さい。地球が自転しているため、（北極と南極以外では）地表の観測者から見て、「真上」に物体が投射されても、その物体の角運動量は、ゼロにはなりません。また、ココでは、空気抵抗を、計算に入れていないコトにも、注意が必要です。

■他にも、検討すべきコトは、多いかも知れませんけど、キリがないので、とりあえず、以上で、角運動量 $L$ がゼロの場合の計算は、おしまいにしましょう。次節からは、いよいよ、角運動量がゼロでない場合の運動を、考えてみます。

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