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数学公式集 ―― 知っていると便利な公式一覧 | ||||||||||
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■『ありさ と リトこ の物理学ノート』の「探究学習の成果レポート」を読むにあたって、知っていると便利な数学公式を、まとめておきました。ココにまとめておいたのは、とっても基本的なモノばかりで、特別に難しい内容や、珍しい公式は、ないと思います。でも、ココで紹介した内容が、「ありさ と リトこ が、理解できる限界」――という設定。コレ以上に難しいコトは、ウチのウェブサイトでは、扱いません（正直に言うと、藤野の手に負えません）。つまり、「ココにまとめてある内容の意味が、理解できるならば、ウチのウェブサイトの内容は、完全に理解できるし、十分に楽しめる」――という目安にもなっています。 | |
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ベクトル解析 ―― 便利な公式一覧 |
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□ $\boldsymbol{A} = (A_{x}, \ A_{y}, \ A_{z})$、$\boldsymbol{B} = (B_{x}, \ B_{y}, \ B_{z})$、$\boldsymbol{C} = (C_{x}, \ C_{y}, \ C_{z})$、$\mathbf{0} = (0, \ 0, \ 0)$ □ $\phi = \mathrm{const.}$（スカラー定数） □ $x, \ y, \ z$ 方向への単位ベクトル：$\boldsymbol{e}_{x}, \ \boldsymbol{e}_{y}, \ \boldsymbol{e}_{z}$ |
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■定義：内積（スカラー積） | |
| \[ \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B} = A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z} \] | |
■定義：外積（ベクトル積） | |
| \[ \begin{align*} \boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B} &= (A_{y}B_{z}-A_{z}B_{y}, \ A_{z}B_{x}-A_{x}B_{z}, \ A_{x}B_{y}-A_{y}B_{x}) \\[0.5em] &= (A_{y}B_{z}-A_{z}B_{y})\boldsymbol{e}_{x}+(A_{z}B_{x}-A_{x}B_{z})\boldsymbol{e}_{y}+(A_{x}B_{y}-A_{y}B_{x})\boldsymbol{e}_{z} \end{align*} \] | |
■基本公式 | |
| \[ \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{A} = A^{2} = A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2} \] | \[ \boldsymbol{A} \times \boldsymbol{A} = \mathbf{0} \] |
| \[ \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B} = \boldsymbol{B} \cdot \boldsymbol{A} \] | \[ \boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B} = -(\boldsymbol{B} \times \boldsymbol{A}) \] |
| \[ \phi(\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B}) = (\phi\boldsymbol{A}) \cdot \boldsymbol{B} = \boldsymbol{A} \cdot (\phi\boldsymbol{B}) \] | \[ \phi(\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}) = (\phi\boldsymbol{A}) \times \boldsymbol{B} = \boldsymbol{A} \times (\phi\boldsymbol{B}) \] |
| \[ \boldsymbol{A} \cdot (\boldsymbol{B}+\boldsymbol{C}) = (\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B})+(\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{C}) \] | \[ \boldsymbol{A} \times (\boldsymbol{B}+\boldsymbol{C}) = (\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B})+(\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{C}) \] |
| \[ \boldsymbol{A} \cdot (\boldsymbol{B} \times \boldsymbol{C}) = \boldsymbol{B} \cdot (\boldsymbol{C} \times \boldsymbol{A}) = \boldsymbol{C} \cdot (\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}) \] | \[ (\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B})^{2} = A^{2}B^{2} - (\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B})^{2} \] |
| \[ \boldsymbol{A} \times (\boldsymbol{B} \times \boldsymbol{C}) = (\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{C})\boldsymbol{B}-(\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B})\boldsymbol{C} \] | \[ (\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}) \times \boldsymbol{C} = (\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{C})\boldsymbol{B}-(\boldsymbol{B} \cdot \boldsymbol{C})\boldsymbol{A} \] |
■定義：ナブラベクトル | |
| \[ \nabla = \left(\frac{\partial}{\partial x}, \ \frac{\partial}{\partial y}, \ \frac{\partial}{\partial z}\right) = \boldsymbol{e}_{x}\frac{\partial}{\partial x}+\boldsymbol{e}_{y}\frac{\partial}{\partial y}+\boldsymbol{e}_{z}\frac{\partial}{\partial z} \] | |
■微分公式 | |
| \[ \nabla \cdot \boldsymbol{A} = \mathrm{div}\boldsymbol{A} = \frac{\partial A_{x}}{\partial x}+\frac{\partial A_{y}}{\partial y}+\frac{\partial A_{z}}{\partial z} \] \[ \begin{align*} \nabla \times \boldsymbol{A} = \mathrm{rot}\boldsymbol{A} &= \left(\frac{\partial A_{z}}{\partial y}-\frac{\partial A_{y}}{\partial z}, \ \frac{\partial A_{x}}{\partial z}-\frac{\partial A_{z}}{\partial x}, \ \frac{\partial A_{y}}{\partial x}-\frac{\partial A_{x}}{\partial y}\right) \\[0.5em] &= \left(\frac{\partial A_{z}}{\partial y}-\frac{\partial A_{y}}{\partial z}\right)\boldsymbol{e}_{x}+\left(\frac{\partial A_{x}}{\partial z}-\frac{\partial A_{z}}{\partial x}\right)\boldsymbol{e}_{y}+\left(\frac{\partial A_{y}}{\partial x}-\frac{\partial A_{x}}{\partial y}\right)\boldsymbol{e}_{z} \end{align*} \] | |
| \[ \begin{align*} &\nabla \cdot (\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}) = \nabla \cdot \boldsymbol{A}+\nabla \cdot \boldsymbol{B} \quad &&\Leftrightarrow \quad \mathrm{div}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}) = \mathrm{div}\boldsymbol{A}+\mathrm{div}\boldsymbol{B} \\[0.5em] &\nabla \times (\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}) = \nabla \times \boldsymbol{A}+\nabla \times \boldsymbol{B} \quad &&\Leftrightarrow \quad \mathrm{rot}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}) = \mathrm{rot}\boldsymbol{A}+\mathrm{rot}\boldsymbol{B} \end{align*} \] | |
| \[ \nabla \cdot (\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}) = \boldsymbol{B} \cdot (\nabla \times \boldsymbol{A})-\boldsymbol{A} \cdot (\nabla \times \boldsymbol{B}) \quad \Leftrightarrow \quad \mathrm{div}(\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}) = \boldsymbol{B} \cdot (\mathrm{rot}\boldsymbol{A})-\boldsymbol{A} \cdot (\mathrm{rot}\boldsymbol{B}) \] | |
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三角関数 ―― 便利な公式一覧 |
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■ワイエルシュトラスの置換 | ||||||||
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□ $\sin{\alpha}, \ \cos{\alpha}$ のみの有理式（たとえば、$1/(1+\cos{\alpha})^{2}$ とか）の積分では、次の変数変換が、とても有効です。この変数変換は、「ワイエルシュトラスの置換」などと呼ばれています。 \[ \begin{align*} &u = \tan{\left( \frac{\alpha}{2} \right)} \ \Longrightarrow \ d\alpha = \frac{2}{1 + u^{2}} \, du \quad \mbox{および} \quad &&\sin{\alpha} = \frac{2u}{1 + u^{2}} \, , \quad \cos{\alpha} = \frac{\ 1 - u^{2} \ {}}{\ 1 + u^{2} \ {}} \, , \\[1em] & &&u = \frac{\sin{\alpha}}{\ 1 + \cos{\alpha} \ {}} \, , \quad u^{2} = \frac{\ 1 - \cos{\alpha} \ {}}{\ 1 + \cos{\alpha} \ {}} \end{align*} \] | ||||||||
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双曲線関数 ―― 便利な公式一覧 |
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■定義と基本公式 |
■逆関数 | |
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\[
\sinh{x} = \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}
\]
\[
\cosh{x} = \frac{e^{x}+e^{-x}}{2}
\]
\[
\tanh{x} = \frac{\sinh{x}}{\cosh{x}} = \frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}
\]
\[ \cosh{x}+\sinh{x} = e^{x} \] \[ \cosh{x}-\sinh{x} = e^{-x} \] \[ \cosh^{2}{x}-\sinh^{2}{x} = 1 \] \[ \sinh{(\alpha \pm \beta)} = \sinh{\alpha}\cosh{\beta} \pm \cosh{\alpha}\sinh{\beta} \] \[ \cosh{(\alpha \pm \beta)} = \cosh{\alpha}\cosh{\beta} \pm \sinh{\alpha}\sinh{\beta} \] \[ \tanh{(\alpha \pm \beta)} = \frac{\tanh{\alpha} \pm \tanh{\beta}}{1 \pm \tanh{\alpha}\tanh{\beta}} \] \[ \sinh{(2 \alpha)} = 2\sinh{\alpha}\cosh{\alpha} \] \[ \cosh{(2 \alpha)} = 2\cosh^{2}{\alpha} - 1 \quad = 2\sinh^{2}{\alpha} + 1 \] \[ \sinh{x} = x + \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} + \frac{x^{7}}{7!} + \cdots \] \[ \cosh{x} = 1 + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} + \frac{x^{6}}{6!} + \cdots \] \[ \tanh{x} = x - \frac{1}{3}x^{3} + \frac{2}{15}x^{5} - \frac{17}{315}x^{7} + \cdots \] |
\[
\begin{align*}
&\sinh{(\sinh^{-1}{x})} = x \ , \ &&\sinh^{-1}{(\sinh{x})} = x \\[0.5em]
&\cosh{(\cosh^{-1}{x})} = x \ , \ &&\cosh^{-1}{(\cosh{x})} = x \\[0.5em]
&\tanh{(\tanh^{-1}{x})} = x \ , \ &&\tanh^{-1}{(\tanh{x})} = x
\end{align*}
\]
\[ \begin{align*} \sinh^{-1}{x} &= \ln{\left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)} \\[0.5em] &\quad = \cosh^{-1}{\left(\sqrt{x^{2}+1}\right)} \\[0.5em] &\quad = \tanh^{-1}{\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}\right)} \end{align*} \] \[ \begin{align*} \cosh^{-1}{x} &= \ln{\left(x+\sqrt{x^{2}-1}\right)} \\[0.5em] &\quad = \sinh^{-1}{\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)} \\[0.5em] &\quad = \tanh^{-1}{\left(\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x}\right)} \end{align*} \] \[ \tanh^{-1}{x} = \frac{1}{2}\ln{\left(\frac{1+x}{1-x}\right)} \] \[ \sinh{(\cosh^{-1}{x})} = \sqrt{x^{2}-1} \] \[ \cosh{(\sinh^{-1}{x})} = \sqrt{x^{2}+1} \] \[ \tanh{(\sinh^{-1}{x})} = \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}} \] \[ \tanh{(\cosh^{-1}{x})} = \frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x} \] | |
■微積分 | ||
| \[ \frac{d}{dx}\sinh{x} = \cosh{x} \] \[ \frac{d}{dx}\cosh{x} = \sinh{x} \] \[ \frac{d}{dx}\tanh{x} = \frac{1}{\cosh^{2}{x}} = 1-\tanh^{2}{x} \] |
\[
\frac{d}{dx}\sinh^{-1}{x} = \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}} \\[1.5em]
\frac{d}{dx}\cosh^{-1}{x} = \frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}} \\[1.5em]
\frac{d}{dx}\tanh^{-1}{x} = \frac{1}{1-x^{2}}
\]
□ $C$：積分定数 \[ \int \sinh{x} \ dx = \cosh{x} + C \\[1.5em] \int \cosh{x} \ dx = \sinh{x} + C \\[1.5em] \int \tanh{x} \ dx = \ln{(\cosh{x})} + C \] | |
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