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「ウラシマ効果」の時間遅れを、計算してみよう！ ―― この式に、好きな数値を代入するだけで、時間のズレ方が分かるよ♪ |
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■『「動いている時計は、遅くなる」の間違いを暴く！』で説明したように、お互いに静止していない時計は、お互いの指し示す時刻が、ズレていきます。そうなると、「それならば、どのような場合には、どれだけ時間がズレるのか？」を、自分で、いろんな状況を考えて、自由自在に計算してみたくなりますよね。 | ||||||
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■1. まずは、復習から。 ――「動いている時計」に、ナニが起きるのか？ |
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■ありさ と リトこ が、離れた場所にいて、お互いに静止していないときには、「ありさ の持っている時計」と「リトこ の持っている時計」の時刻や時間の進み方を、直接、比較する方法はないのでした。特殊相対論の世界では、2 人が離れた場所にいて、お互いに静止していないときには、お互いに、相手の持っている時計を、直接、見比べるコトができないからです（詳しくは、『「動いている時計は、遅くなる」の間違いを暴く！』の第 1 節「「時計を合わせる」って、意外と大変？」を参照）。 |
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■2. 単位は、とっても大切。 ―― 光の速さは、「 1 」で OK！？ |
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■ところで、現実に「ウラシマ効果」が問題になるようなシチュエーションでは、距離なら数光年のスケールになるでしょうし、時間なら数年のスケールになるでしょう。そうなると、単位の換算が、大変になりそうです。通常は、時間の単位は [年]、距離の単位は [光年]、速さの単位は「光速 $c$ の○倍」で統一すれば、簡単に計算できます。そこで、一応念のため、本題に入る前に、ココで、単位の換算式を、示しておきましょう。 □時間：$1$ [年] $= 365.25$ [日] $= 31\ 557\ 600$ [秒] つまり、$1$ [年] $= A_{\mathrm{J}}$ [秒] □距離：$1$ [光年] $= 299\ 792\ 458$ [m/秒] $\times \ 31\ 557\ 600$ [秒] つまり、$1$ [光年] $=C_{\mathrm{SI}} \cdot A_{\mathrm{J}}$ [m] □速度：$1$ [光年/年] $= 299\ 792\ 458$ [m/秒] つまり、$1$ [光年/年] $= C_{\mathrm{SI}}$ [m/秒] □加速度：$1$ [光年/年${}^2$] $= 299\ 792\ 458$ [m/秒] $\div \ 31\ 557\ 600$ [秒] つまり、$1$ [光年/年${}^2$] $= C_{\mathrm{SI}} / A_{\mathrm{J}}$ [m/秒${}^2$]（$\simeq 9.500$ [m/秒${}^2$]） ■特に、[年] と [光年] で、すべての単位を揃えると、光の速さ $c$ が、$c = 1$ [光年/年] となるコトは、実際に計算するときに、とっても便利なので、覚えておくと良いですよ♪ |
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■3. コレが、「ウラシマ公式」だ！（その 1） ―― 等速直線運動 Ver. |
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■まず最初に、距離 $x$ だけ離れて、お互いに静止している、リトこ と ナー のあいだを、ありさ が、速さ $v$ の等速直線運動で、駆け抜けて行くトコロを、想像してみましょう。次の図のような感じです。 |
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■この図のような条件で、ありさ が、ナー のトコロに到着したとき、ありさ の持っている時計の時刻 $\tau_{\ \mathrm{N}}$ と、ナー の持っている時計の時刻 $t_{\ \mathrm{N}}$ は、光の速さ（光速）を $c$ で表すと、次の公式で、計算できます。 \[ t_{\ \mathrm{N}} = \frac{x}{v} \tag{3.1} \] \[ \tau_{\ \mathrm{N}} = \sqrt{1 - \left( \frac{v}{c} \right)^{2}} \cdot \frac{x}{v} \qquad \mbox{したがって} \qquad \tau_{\ \mathrm{N}} = \sqrt{1 - \left( \frac{v}{c} \right)^{2}} \cdot t_{\ \mathrm{N}} \tag{3.2} \]このように、意外なほど簡単な式で、計算できるんです。こんな簡単な公式なら、皆さんも、自分で、自由に、計算してみたくなりませんか。ぜひ、いろんな設定を考えて、計算してみて下さいね♪ □ちなみに、この公式に出てくる $\sqrt{1 - (v/c)^{2}}$ の値が、必ず $1$ より小さくなるコトは、とても重要です。このコトから、ありさ が ナー のトコロに到着したとき、ありさ の持っている時計の時刻 $\tau_{\ \mathrm{N}}$ は、ナー の持っている時計の時刻 $t_{\ \mathrm{N}}$ よりも、必ず、小さくなるコトが、分かります。つまり、ありさ の持っている時計は、ナー の持っている時計よりも、必ず、時間の進み方が遅くなっている――というコトです。 □ところで、このとき、リトこ や ナー から見ると、ありさ は、右向きに速さ $v$ で進んでいます。逆に、ありさ から見ると、リトこ も ナー も、左向きに速さ $v$ で進んでいます。直感的に考えると、ありさ と、リトこ ＆ ナー は、時間の進み方が違うので、「距離÷時間」で表される「速さ」が、どちらも同じ大きさというのは、奇妙に感じるかも知れません。でも、詳しく計算してみると、ちゃんと、どちらから見ても、相手は、（当然、向きは逆になるけど）速さ $v$ で進んでいるように見えるコトが、分かります。
□同じ要領で、いろいろ設定を変えて計算してみると、いろいろオモシロい発見が、あるかも知れません。たとえば、ありさ の進む速さ $v$ が、現実的なロケットの速さくらいだと、どうなるのでしょうか。また、光の速さに、どんどん近づいていくと、時間の進み方は、どのように変化していくのでしょうか。
というコトになります。リトこ と ナー のあいだの距離は、$x$ だったハズです。だけど、ありさ にとっては、それよりも短い距離 $\xi$ しか進んでいないのに、ナー のいるトコロに着いてしまうコトになるのです。なんとも不思議なコトですけど、いったい、どういうコトなのでしょうか？ □「ガレージのパラドックス」という言葉を、聞いたコトがあるでしょうか。このパラドックスは、直感的には、極めて単純に感じますけど、「離れた場所にある 2 つの時計」の問題と、「離れた 2 点間の距離」の問題が、両方とも絡んでくるので、ちょっと油断すると、すぐに騙されてしまうでしょう。「離れた場所にある 2 つの時計」の問題だけを考えれば良い「ウラシマ効果（双子のパラドックス）」よりも、遥かに難しい問題ですので、相対論に自信がついてきたら、ぜひ、挑戦してみて下さいね。 □「ガレージのパラドックス」は聞いたコトがなくても、「ローレンツ収縮」という言葉なら、聞いたコトがある――という人は、多いかも知れません。リトこ と ナー のあいだの距離 $x$ よりも、ありさ が進んだ距離 $\xi$ が短くなっている（つまり、長さが収縮している？）コトも、「ローレンツ収縮」という言葉で、説明されるコトが多いようです。でも、「離れた 2 点間の距離」は、複雑で微妙な問題を含んでいます。だから、「ローレンツ収縮」という言葉で、安易に分かった気になるのは、ちょっと危うい気がします。 □たとえば、「動いている物体は、ローレンツ収縮によって、縮んで見える」といった説明は、ありがちに感じますけど、かなり、誤解を与える表現なので、注意が必要です。特に、SF 作品を楽しむ人が、絶対に忘れて欲しくないのは、「ある距離のトコロに『ある』」というのは、「ある距離のトコロに『見える』」とは、まったく違う――というコトです。「見える」においては、「対象がどの位置にあるのか」よりも、「対象から来た光が、観測者の目に入るまでの経路がどうなっているのか」というコトが、重要なのです。とっても長い蛍光灯を考えると、分かりやすいかも知れません。蛍光灯の右端から出た光と、左端から出た光が、ある時刻に、同時に、観測者の目に入ってきたとします。でも、観測者から蛍光灯の右端までの距離と、観測者から蛍光灯の左端までの距離が、異なる場合は、どうなるでしょうか。別々の時刻に出た光が、ある時刻に、同時に、観測者の目に入ってくるコトになります。さらに、蛍光灯や観測者の位置や姿勢が、とっても速く変化している場合を、考えてみて下さい。観測者の目に同時に入ってきた光は、すべて、違う時刻に――つまり、違う位置・姿勢のときに、蛍光灯の各部分から出た光なのです。そうなると、観測者が「見る」蛍光灯は、部分ごとに、違う位置・姿勢になっているハズです。たとえ、本来は真っ直ぐな蛍光灯だとしても、観測者には、かなり歪んだカタチに見えるかも知れません。そんなワケで、特に、SF 作品を楽しむときには、「ローレンツ収縮」という言葉に、安易に騙されないよう、要注意ですよ！ |
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■4. コレが、「ウラシマ公式」だ！（その 2） ―― 等加速度直線運動 Ver. |
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■さて、次は、距離 $x$ だけ離れて、お互いに静止している、リトこ と ナー のあいだを、ありさ が、加速度 $\alpha$ の等加速度直線運動で、駆け抜けて行くトコロを、想像してみましょう。実は、この場合は、「ココで出てくる『加速度 $\alpha$』とは、いったい、誰から見た加速度なのか？」というコトが、問題になってきます。お互いから見た、お互いの速さ $v$ とは違い、加速度は、観測する人や測り方で、変わってきてしまうからです。 □ちなみに、「リトこ ＆ ナー から見た ありさ の加速度」、「ありさ が、自分の感じる慣性力の大きさから判断した、自分の加速度」、「ありさ が、自分の周囲の背景が流れていく速さの変化から判断した、自分の加速度」は、それぞれ、ぜんぶ、異なる値になります（ココでは、2 番目に説明した「加速度」を、「ありさ の感じる加速度 $\alpha$」としています）。ホントに、相対論は、ややこしいですね。
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■このような条件で、ありさ が、ナー のトコロに到着したとき、ありさ の持っている時計の時刻 $\tau_{\ \mathrm{N}}$ と、ナー の持っている時計の時刻 $t_{\ \mathrm{N}}$、および、ありさ の進む速さ $v_{\ \mathrm{N}}$ を表す公式を、考えてみましょう。まず、公式を見やすくするために、次のような記号 $\gamma_{0}$ を、導入しておきます（なお、$c$ は、光速です）。 \[ \gamma_{0} = \frac{1}{\sqrt{1 - (v_{0}/c)^{2}}} \tag{4.1} \]ちなみに、この $\gamma_{0}$ は、ありさ の初速度（ありさ が、リトこ のトコロを出発するときの速さ）$v_{0}$ が、$v_{0} = 0$ のとき、$\gamma_{0} = 1$ となります。この $\gamma_{0}$ を使って、ありさ が、ナー のトコロに到着したとき、ありさ の持っている時計の時刻 $\tau_{\ \mathrm{N}}$、ナー の持っている時計の時刻 $t_{\ \mathrm{N}}$、および、ありさ の進む速さ $v_{\ \mathrm{N}}$ を計算する公式を表すと、光の速さ（光速）を $c$ として、それぞれ、 \[ t_{\ \mathrm{N}} = \frac{c}{\alpha} \left\{ \sqrt{\left( \frac{\alpha}{c^{2}} x + \gamma_{0} \right)^{2} - 1} \ - \ \gamma_{0} \frac{v_{0}}{c} \right\} \tag{4.2} \] \[ \tau_{\ \mathrm{N}} = \frac{c}{\alpha} \left\{ \cosh^{-1}{\left( \frac{\alpha}{c^{2}} x + \gamma_{0} \right)} \ - \ \sinh^{-1}{\left( \gamma_{0} \frac{v_{0}}{c} \right)} \right\} \tag{4.3} \] \[ v_{\ \mathrm{N}} = c \ \sqrt{1 - \left( \frac{\alpha}{c^{2}} x + \gamma_{0} \right)^{-2}} \tag{4.4} \]となります。双曲線関数まで出てきて、とっても複雑な式のように、感じられますね（双曲線関数については、皆さんで、調べてみて下さい）。でも、関数電卓（2000〜3000 円くらいの、手のひらサイズのモノで、十分です）があれば、すぐに、簡単に、自由自在に、計算できますよ。さらに、ありさ が、リトこ のトコロを出発するときの速さ（初速度）$v_{0}$ が、$v_{0} = 0$ のときは、次のように、比較的、簡単な式になります。 \[ t_{\ \mathrm{N}} = \frac{c}{\alpha} \sqrt{\left( \frac{\alpha}{c^{2}} x + 1 \right)^{2} - 1} \quad , \quad \mbox{（ただし、$v_{0} = 0 \ $）} \tag{4.5} \] \[ \tau_{\ \mathrm{N}} = \frac{c}{\alpha} \cosh^{-1}{\left( \frac{\alpha}{c^{2}} x + 1 \right)} \quad , \quad \mbox{（ただし、$v_{0} = 0 \ $）} \tag{4.6} \] \[ v_{\ \mathrm{N}} = c \ \sqrt{1 - \left( \frac{\alpha}{c^{2}} x + 1 \right)^{-2}} \quad , \quad \mbox{（ただし、$v_{0} = 0 \ $）} \tag{4.7} \]□なお、ココでの速さ $v_{\ \mathrm{N}}$ は、「リトこ ＆ ナー から見た ありさ の進む速さ」＝「ありさ が、自分の周囲の背景が流れていく速さから判断した、自分の進む速さ」です。ありさ 自身は、一定の大きさの慣性力を感じているので、一定の大きさの加速度で運動していると、思っているでしょう。だから、自分の進む速さは、「速さ」＝「加速度」×「時間」という公式で、計算できるハズです。この公式では、「時間」の値が大きくなると（つまり、十分に長い時間が経つと）、「加速度」が一定ならば、いつかは、「速さ」が光の速さを超えてしまいます。だけど、どれだけ時間が経っても、公式（4.4）や公式（4.7）の $v_{\ \mathrm{N}}$ は、光の速さ $c$ を超えません。ホントに、相対論の世界は、ワケの分からないコトだらけですね。
□等速直線運動の場合と同じく、等加速度直線運動の場合でも、いろいろと設定を変えて計算してみると、いろいろと興味深い発見が、あるかも知れません。ちなみに、「等加速」と書いていますけど、ありさ が減速していく場合は、「ありさ の感じる加速度 $\alpha$」に、マイナスの値を代入すれば、まったく同じ公式が使えます。たとえば、ありさ が、地球の重力加速度と同じ大きさの加速度で「減速」する場合には、$\alpha$ に $-9.8$ [m/秒${}^2$] を代入すれば、OK です。
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